Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) ( 17 ) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (17)

а) а б в

Вероятность событий выражается положительным числом и может принимать любые значения в пределах от О до J:

0<Р(Л)<1.

Вероятность невозможного события равна нулю, а достоверного события - единице.

Правила сложения вероятностей несовместимых событий. Суммой события А п в называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или А

и В вместе. Если мы назовем ► событием А получение параметра X в пределах ав, событием В -получение параметра изделия X в пределах бг (рис. 4-1,а), то вероятности суммы событий А и В называется вероятность того, что очередное изделие будет иметь параметр х либо в пределах ав, либо в пределах бг, т. е. может произойти либo событие А, либо событие В, либо они могут произойти одновременно.

Если области возможных значений событий А и В нигде не совпадают (рис. 4-1,6), то события А и В называются несовместимыми. События называются несовмести.мыми, если появление одного из них исключает появление других в одном и том же испытании.

Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р{А + В)=Р{А)+Р{В).

Правило сложения вероятностей несовместимых событий верно для любого количества несовместимых событий:

Р{А + В + С+...)=Р{А)+Р{В)-{-Р{С)+... (4-2)

Пример 4-3. Вероятность того, что выходная мощность передатчика находится в пределах 1,1-1,2 кет, равна 0,2, а вероятность того, что она находится в пределах 1,2-1,3 кет, равна 0,4.

Рис. 4-1. Пояснение понятия суммы двух событий:

а - события А к В совместимые; б - события Л и В несовместимые.



Определить вероятность того, что мощность очередного передатчика, выпускаемого заводом, будет в пределах 1,1-1,3 кет. Ответ: /=0.6.

Полная система событий. Результаты некоторой операции, например проверки качества изделий, образуют систему отбытий. Если эта система такова, что она включает все возможные результаты операций, а сами результаты несовместимы, т. е. в единичной операции не могут наступить одновременно два результата, то такая система называется полной системой событий. Систему событий Аи -2, -., А-п называют полной, если в единичном испытании обязательно наступает одно и только одно из этих событий. Так, если завод выпустил изделия 1, 2 и 3-го сортов, то любое изделие, выпущенное заводом, окажется либо 1-го, либо 2-го, либо 3-го сорта, причем оно не может оказаться одновременно 1-го и 2-го, или 1-го и 3-го, или 2-го и 3-го сорта. В этом примере три события: выпуск изделий 1-го, 2-го и 3-го сортов образует полную систему событий.

Появление в единичной операции одного из событий полной системы достоверно, поэтому сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице:

P{Ai)+P{A2)+ ... Н-Р(Л„) = 1. (4-3)

пример 4-4. События А, В, С и D образуют полную систему событий. Вероятности событий Л, В и С равны: />(Л)=0,4; Р(В) = = 0,1; Р{С)=0,3. Чему равна вероятность события D?

Ответ: P(D) =0,2.

Противоположные события. Два несовместимых и единственно возможных события называются противоположными.

Любые два противоположные события образуют тюлную систему: попадание в цель и промах, выпуск годного и негодного изделий, надежная работа и отказ в работе. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Если P{Ai) и P(2) вероятности противоположных событий, то

Р(Л2) = 1-Р(Л,). (4-4)

Например, если вероятность того, что изделие окажется годным, равна 0,99, то вероятность того, что оно будет негодным,

Р(Л) = 1-0,99=0,01.



пример 4-5. Вероятность того, что приемник за время гарантийного срока службы не выйдет из строя, равна 0,95. Определить вероятность того, что за время гарантийного срока службы приемник выйдет из строя.

Ответ: /=0,05.

Правила умножения вероятностей независимых событий. В очень многих практических случаях можно с достаточной точностью считать, что два или несколько событий происходят независимо друг от друга. Независимо друг от друга работают многие станки, электронные лампы, сопротивления и конденсаторы, различные электрические цепи. Два события называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит оттого, появится или не появится другое.

Произведением двух событий А я В называется событие С, состоящее в совместном появлении событий А и В. Вероятность совместного появления нескольких независимых событий Л,, Лг, Л„ определяется правилом умножения вероятностей.

Вероятность совместного наступления нескольких независимых событий равняется произведению вероятностей этих событий:

Р{С)=Р{А,)Р{А,}Р{А,) ...Р(Л„). (4-5)

Например, если в узле независимо друг от друга работают несколько деталей, вероятности надежной работы каждой из деталей в течение некоторого времени равны Рь Рг, Рз, ..., Рп и отказ в работе любой детали приводит к отказу узла, то вероятность надежной работы одновременно всех деталей, т. е. вероятность надежной работы узла, определяется правилом умножения вероятностей независимых событий:

Р = Р,Р2 ... Рп.

Часто возникает необходимость определения вероятности наступления одного из независимых событий (все равно какого). Для рещения этой задачи нельзя применять правило сложения вероятностей несовместимых событий, так как независимые события не являются несовместимыми. Рассмотрим, например, два события: выход из строя (отказ) первого узла и отказ второго узла, причем известно, что эти события независимы, т. е. отказ первого узла не зависит от отказа второго. 62



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) ( 17 ) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143)