Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) ( 18 ) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (18)

Эти события не являются несовместимыми, так как из их независимости вытекает, что возможен отказ как первого, так и второго узла в рассматриваемом интервале времени.

Для определения вероятности наступления одного из независимых событий воспользуемся правилом определения вероятности противоположного события и правилом умножения вероятностей независимых событий. Обозначим Pi, Р2, Рз, ..., Рп вероятности независимых событий Л], Лг, ..., Л„. Вероятности того, что каждое из этих событий не произойдет, равны: 1-Pi, 1-Р2, 1-Рз, ..., 1-Рп. Вероятность того, что ни одно из рассматриваемых независимых событий не произойдет, определяется правилом умножения вероятностей:

Р(Л)=1(1-Р1)(1-Р2) ... (1-Рп) = П (1-Pi).

«=1

Рассмотрим два события: событие Л, состоящее в том, что ни одно из событий Ль Лг, ..., Л„ не произойдет, и событие В, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий Л], Лг, ..., А„. Очевидно, события Л и В противоположны.и Р{В) =1-Р(Л). Следовательно, интересующая нас вероятность наступления хотя бы одного из событий Ль Лг, ..., Л„ (все равно какого) определяется из равенства

p{B)=i-Ua-fi)- (4-6)

Если все события Ль Лг, ..., Л„ имеют одинаковую вероятность q, то вероятность наступления хотя бы одного из них

P{B) = l-qn, где п - число независимых событий.

Пример 4-6. Электрическая цепь (рис. 4-2,а) содержит три сопротивления, включенных параллельно. Цепь продолжает выполнять свои функции, если хотя бы одно из сопротивлений не 1выйдет из строя. Определить вероятность отказа цепи, если вероятность отказа каждого из сопротивлений Pi=0,2.

Решение. Вероятность того, что откажут все три сопротивления, т. е. вероятность отказа цепи Р (В) =0,2=0,008.

Пример 4-7. Электрическая цепь (рис. 4-2,6) содержит три сопротивлении, включенных последовательно. Вероятность отказа



>

каждого из них (за некоторое »ремя ti) Pi=0,2. Определить вероятность отказа хотя бы одного из сопротивлений (все равно какого), т. е. вероятность отказа цепи за время ti.

Решение. Найдем вероятность того, что в течение рассматриваемого времени каждое из сопротивлений не откажет: Pi = =11-0,2=0,8. Вероятность того, что ии одно из них не откажет: Р(Л) =0,83=0,51. Вероятность отказа цепи Р(В) = 1-0,51=0,49.

Пример 4-8. Цепь питается от двух источников, включенных последовательно. Известно, что вероятность отказа первого источника за 1 часов непрерывной работы Pi=0,2, а второго /2=0,3.

Требуетси определить вероятность безотказной работы за указанное время одновременно двух источников и вероятность отказа одного из них (все равно какого).

Решение. Вероятность безот-отказной работы первого источника P=l-Pi= 1-0,2=0,8, а второго источника Р"=1-Р2= 1-0,3=0,7. Вероятность безотказной работы одио-временио двух источников Р(А) = =РР"=0,8 • 0,7=0,56. Вероятность отказа одного из источников Р(В) = = 1-Р (Л) = 1-0,56=0,44.

Пример 4-9. Технологический процесс обработки детали содержит 4 операции, причем контроль после каждой операции не предусмотрен Вероятность брака иа первой операции Pi=0,2, на второй Р2=0,1, на третьей Рз=0,01 и иа четвертой Р4= =0,3. Определить вероятность брака детали.

Решение. Поскольку контроль после каждой операции не предусмотрен, вероитности брака на каждой операции являются независимыми событиями, так как детали проходят все 4 операции обработки. Вероятности того, что детали будут правильно обработаны, как события, противоположные вероятности брака, соответственно равны: Pi= 1-0,2=0,8; Р2= 1-0,1 =0,9; Рз= 1-0,01 = 0,99 и Р4=1-0,3=0,7.

Вероятность того, что деталь будет годной, т. е. будет правильно обработана на всех операциях, определяется из равенства Р(А) =Р,Р2РзР4=0,8 • 0,9 -0,99 • 0,7=0,49.

Вероятность брака Р(В) =1-0,49=0,51.

Пример 4-10. Имеется два конвейера, на которых собираются приборы. Вероятность остановки первого конвейера за время ti равна Pi = 0,2, а второго Рг=0,1. Определить вероятность того, что за время ti остановятся оба конвейера и .выпуск приборов прекратится, вероятность того, что оба конвейера будут работать безотказно, и вероятность того, что один из них откажет.

Рнс. 4-2. Кпримерам 4-6 и 4-7.

а - к определению вероятности

отказа параллельной цепи; б - к определению вероятности отказа последовательной цепи.



Решение. Полагая, что работа конвейеров не зависит друг от друга, считаем выпуск приборов с 1-го и 2-го конвейеров событиями независимыми. Вероятность одновременной остановки обоих конвейеров P=PiP2=0,02. Вероятность безотказной работы обоих конвейеров Р"= (1-Pi) (1-Ра) =0,8 • 0,9=0,72.

Вероятность того, что один из конвейеров остановится, Р(Л) = = 1 Р=,1 0,72=0,28.

Если каждая из вероятностей Pi, Рг, Рз, . • •, Рп много меньше единицы, то Вероятность появления одного из независимых событий приближенно определяется из равенства

Р = Р, + Рй+Рз+ ... Л-Рп. (4-7)

Если система содержит N независимых приборов и каждый из приборов имеет высокую надежность, т. е. вероятности выхода из строя приборов малы (Р,- < 1), то вероятность выхода из строя системы из N независимых приборов определяется равенством (4-7), в которое надо подставить вероятность выхода из строя каждого прибора. Если узел содержит п деталей и вероятность брака каждой Детали Р» мала, то вероятность брака узла Р=Рп.

пример 411. Намотка катушек производится на трех станках. Вероятность брака на первом станке Pi =0,005, на втором Р2=0,003, а на третьем Ps=0,01. Определить вероятность того, что очередная катушка, намотанная на одном из трех станков (все равно каком), окажется негодной.

Ответ: Р=0,018.

Пример 4-12. Прибор содержит десять узлов, вероятность брака каждого узла Pi=2.10"*. Требуется определить вероятность брака прибора.

Ответ: Р=2 • 10-.

4-3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПАРАМЕТРЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Как бы мы не старались повторить условия той или иной операции, всегда имеются такие факторы, которые мы не можем заранее учесть. В одной и той же партии конденсаторов, которые изготавливались по одной технологии и теми же работниками, емкости их всегда будут различны. Приемники одной и той же партии имеют разную чувствительность и т. д. Но эти случайные величины могут существенно отличаться. При улучшении технологии производства разброс параметров уменьшается и эти параметры меньше отличаются от номи-

5-244 - 65



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) ( 18 ) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143)