Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) ( 19 ) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (19)

нальных значений. Хороший стрелок систематически выбивает больше очков, чем плохой, хотя и у него отдельные выстрелы дают мало очков.

Чтобы полностью определить случайную величину, нужно знать перечень всех возможных ее значений и их вероятность. Так, перечень всех возможных значений выходной мощности передатчика и соответствующие вероятности этих значений дают ясное представление о случайной величине-выходной мощности передатчиков, выпускаемых данным заводом.

Перечень возможных значений случайной величины и их вероятности можно свести в таблицу, называемую таблицей распределения, или построить график зависимости вероятности от значения случайной величины. Такую таблицу или график называют законом распределения случайной величины.

Если случайная величина может принимать только вполне определенные значения Xi, Хг, з, • •., Хп, то она называется дискретной. Примером дискретной величины является число очков, которые получает участник шахматного турнира за выигрыш, проигрыш и ничью, или число очков, выбитых стрелком при стрельбе по мишени.

Дискретная случайная величина может быть полностью определена таблицей распределения

где Хи Х2, Хз, ..., Хп - все возможные значения случайной величины; Рь Р2, Рз, • • •) Рп - вероятности этих значений.

Все возможные значения случайной величины X образуют полную систему событий и поэтому Р1-ЬРг+...+ + Р„=1.

Пример 4-13. При стрельбе по мишени возможны следующие результаты любого выстрела. 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, О Предположим, что известны результаты стрельбы одного стрелка в некоторых условиях; из I ООО выстрелов 600 дали по ЛО очков, 300 - по 9 очков, 50- по 8 очков, 30-по 7 очков и 20 -ло 6 очков.



Определим вероятности всех возможных результатов выстре-чов и составим таблицу распределения:

600 п а о 300 50

= Тооо"~" »=TW° 1 000 -OOS;

= р,= р„ = о.

Таблица распределения будет иметь следующий вид:

0,05

0,03

0,02

в практике контроля качества изделий мЫ чаще встречаемся с величинами, которые могут иметь любые значения -в некотором интервале, т. е. являются непрерывными случайными величинами. Но и в этом случае можно воспользоваться методикой анализа дискретных случайных величин, если рассматриваемый интервал разбить на достаточно мелкие участки и среднее значение параметра в каждом участке рассматривать как дискретную величину, характеризующую данный участок. Например, пусть завод выпускает конденсаторы с номинальным значением 1 ооо пф. Установлено, что в данном производстве возможны значения этих конденсаторов от 800 до 1 200 пф. Разобьем интервал 800- 1 200 пф на 8 равных частей: 800-850, 850-900, 900- 950, 950-1 ооо, 1 ооо-1 050, 1 050-1 100, 1 100-1 150, 1 150-1 200. Будем считать, что дискретные значения X соответственно равны: 825, 875, 925, 975, 1 025, 1 075, 1 125 и 1 175. Пусть статистическому анализу подлежат результаты испытаний 10 ооо ШТ. конденсаторов и пусть из них 1 ооо имеют величину емкости, находящуюся в нервом интервале, 2 ооо - во втором, 3 ооо - в третьем, 1 500 - в четвертом, 1 ооо - ё пятом, 800 - в шестом, 400 - в седьмом и 300 - в восьмом.

Вероятность того, что емкость конденсатора находится в первом интервале (условно - значение его емкости 5* 67



равно 825 пф), Pi = =iO,l. Аналогично определяются:

Р2=0,2; Рз=0,3; Р4 = 0,15; Р5 = 0,1; Рб = 0,08; Р7=0,04 и Р8=0,03.

Таблица распределения примет следующий вид:

1025

1075

I 125

I 175

0.15

0,08

0,04

0,03

Параметры дискретных случайных величин. Таблица распределения полностью характеризует случайную величину, но пользоваться ею непосредственно не всегда удобно. Многие задачи можно решать, пользуясь усредненными числовыми характеристиками - параметрами случайных величин. В ряде практических случаев достаточно характеризовать случайную величину ее средним значением. Так, результаты приемных экзаменов оцениваются средним баллом, результаты стрельбы - средним количеством очков и т. д. Если рассматриваются результаты некоторой операции: сдачи экзаменов, стрельбы, выпуска деталей и случайная величина в этой операции принимает разные значения Хи Хг. • • •, -п, то среднее значение случайной величины определится как среднее арифметическое этих значений.

Пусть случайная величина принимала П\ раз значения Xi, П2 раз значение Хг и т. д. Среднее значение получим из равенства

где п=П1+П2+Пз+\. .-\-п„.

Поделим числитель правой части равенства почленно на общее количество испытаний п, тогда получим:



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) ( 19 ) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143)