Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) ( 20 ) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (20)

Множители Пг1п представляют собой вероятности значений Xj. Поэтому среднеее значение случайной величины

Х=Р,Х, + Р2Х2+РъХг+ ... +РпХп.

(4-8)

Среднее значение случайной величины, полученное путем суммирования всех произведений РД, таблицы ее распределения, называется математическим ожиданием:

(4-9)

Например, если определить математическое ожидание случайной величины примера 4-13, то получим М = 9,43.

Среднее значение случайной величины, вычисленное но формуле 4-8 но результатам cepi испытаний, будет тем меньше отличаться от математического ожидания М(Х), чем больше число испытаний в серии. Математическое ожидание есть такое число, около которого будут колебаться средние значения случайной величины, вычисленные для каждой серии испытаний.

Математическое ожидание и среднее значение недостаточно характеризуют случайную величину. Во многих практических случаях очень важно знать, насколько отличаются друг от друга отдельные значения случайной величины.

Можно себе представить случай, когда среднее значение емкостей конденсаторов равно номинальному, но ни один конденсатор не имеет емкости, находящейся в пределах допуска, среднее расстояние от орудия до места разрыва снаряда равно расстоянию до цели, но ни один снаряд не попал в цель и т. д. Отклонение величины X от математического ожидания равно Xi- -М{Х). Это отклонение может быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим усредненные характеристики отклонений.

Пусть случайная величина задана таблицей распределения:

• • • ,

. ..,

Напишем закон распределения отклонений. Для того чтобы отклонение приняло значение Xi-М{Х), необхо-



димо и достаточно, чтобы случайная величина приняла значение Xi. Следовательно, вероятность отклонения Xi-М{Х) такая же, как и вероятность значения X,, т. е. равна Pi. Вероятность любого значения отклонения Xi- -М{Х) равна Р,-. Поэтому таблица распределения отклонений имеет следующий вид:

Х,-~М {X)

Xi - M (X)

Х-М {X)

. . .

Хп-М{Х)

Математическое ожидание отклонений близко к нулю, так как при сложении положительных и отрицательных отклонений они взаимно уничтожаются. Поэтому для получения усредненной характеристики отклонений пользуются математическим ожиданием абсолютных значений отклонения:

М=У\Хг~М{Х)\Рг. 1=1

Эта величина называется средним отклонением. Она хорощо и наглядно характеризует степень рассеяния значений случайной величины, но для расчетов неудобна. На практике в большинстве случаев пользуются не средним, а средним квадратичным отклонением.

Квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:

[Xi-M(XW

[Хг-М(Х)У

[Х,-М{Х)]

. * .

[Хп-М{Х)]

Математическое ожидание квадрата отклонений называется дисперсией случайной величины и определяется равенством !йч - <; с м

D{X)f(X,-M{X)YP..

i=:l

Извлекая квадратный корень из дисперсии, получаем среднее квадратичное отклонение

W = y S(»-()-



Для любой случайной величины среднее квадратичное отклонение несколько больше среднего отклонения. Однако если сравниваются две случайные величины и у первой среднее отклонение больше, чем у второй, то среднее квадратичное отклонение и дисперсия первой величины будут также больше, чем второй. Таким образом, степень рассеяния случайной величины X хорошо характеризуется как средним квадратичным, так и средним отклонением. Среднее квадратичное отклонение, как параметр случайной величины, обладает важным свойством, облегчающим расчет суммы нескольких независимых случайный величин. Если случайная величина X равна сумме независимых случайных величин Хх, Xi, Х, ..., Хп, то дисперсия X равна сумме дисперсий Хс

D{X) =D{X,) -f £>№) -f. .. + D{X) (4-11)

02 {X) =W2 (X,) -f (Xi) -f . . . -f О» (X„) .

Пример 4-14. Последовательная цепь состоит из трех сопротивлений. Величина каждого из сопротивлений может отличаться от номинала и потому есть случайная величина. Обозначим R\, Rl, R3 номинальные значения сопротивлений, а Di, Dz, D3 соответствующие дишерсии. Среднее значение суммы сопротивлений RoomRi+Ri+Ri, а дисперсия суммы этих сопротивлений. Do6Tn=Di+D2+D3

Если /?,=500 ом, /?2=800 ojk, /?з=700 ом Di=40oM, D2=30 ол«, Оз=1\ ом, то /?общ=500-ь800-1-700=2 ООО ом,

1общ = 40-1-30-И1=81 ом, а среднее квадратичное отклонение (Тобщ = 9 ом

Пример 4-15. Последовательная цепь содержит 9 сопротивлений Ri = \0 ком с одинаковым средним квадратичным отклонением ст=200 ом. Среднее значение общего сопротивления /?общ=910= =90 ком, а среднее квадратичное отклонение общего сопротивления аобщ = /9-2002=600 ом

Из этого примера видно, что при отклонении каждого из со противлении последовательной цепи от номинала на 2%, отклонение от номинала общего сопротивления составляет только з%. Это объясняется взаимной компенсацией отклонений от номинала.

4-4. ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ

Во многих случаях испытания повторяются при неизменных условиях. Например, выпуск каждой детали можно рассматривать как одно испытание, а других таких же деталей - как повторение испытаний. Пусть известна вероятность Р появления некоторого события А,



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) ( 20 ) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143)