Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (21)

например вероятность брака детали. Поставим задачу определить вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А (брак детали) появится ровно т раз и, следовательно, не появится п-т раз. Обозначим искомую вероятность появления события А в т случаях из п испытаний

Искомая вероятность определяется по формуле Бер-нулли:

где С -число сочетаний из п элементов по т элементов;

Р - вероятность появления события А; q=l - Р - вероятность непоявления события А.

Так как число сочетаний

п т\{п-~т)1 г.т = щ~гР-й- (4-12)

Пример 4-15. В урне находится 8 шаров, из них 5 белых и 3 черных. Вынимаем наудачу один шар, смотрим цвет, возвращаем его обратно, перемешиваем и вновь вынимаем наудачу шар.

Всего проводим 4 таких испытания. Требуется определить вероятность того, что белый шар появится 3 раза.

Решение. Вероятность появления белого шара в одном испытании P=V8, а его непоявления q~\-P=ls. Искомая вероятность определиется по формуле (4-12):

4.3-2-1

з2-l «) «= 0,366.

Если брать разные значения т, то получим и разные значения Рп.т- Среди этих значений т будет такое /ге„, при котором Рп.то имеет наибольшее значение. Величина называется наивероятнейшим значением т. Оно показывает самое вероятное количество случаев появления события Л в л независимых испытаниях. Величину удобно

определять из неравенства

{nP-q)<m<{nP-\-P). (4-13)



На практике нас больше интересует не вероятность конкретного значения т (числа случаев появления события, Л), а вероятность того, что число т будет находиться в некотором допуске, находящемся между границами допуска OTj и т.

Требуемая вероятность Pnim-m,) определяется с по-мощью функции Лапласа:

ГПх - пР

fnPq

П1г - пр

Функция Ф (х) = -~=г- е называется функ-у 2я J

цией Лапласа. Ее значения приведены в приложении 1. В таблице указаны значения Ф(л:) только для положительных значений х.

Функция Лапласа нечетная и поэтому

Ф{-х) = - Ф{х).

Пользуясь функцией Лапласа, легко определить рассматриваемую вероятность

Рп(щ.т.)=Ф{)~Ф{х). (4-14)

Пример 4-16. Из 10 000 деталей проверено ОТК 2 000 деталей. После этого детали перемешаны н из иих случайно взяты 400 деталей. Требуется определить вероятность того, что из 400 деталей проверены ОТК от 70 до 100 деталей.

Решение. Вероятность того, что деталь проверена,

2 000

= 10000 =0-2-? = 1-0-2 = 08-

По условию «1=70, Отг = 100. Находим пределы интегрирования: от -пР 70 -400-0,2 yllPq /400-0,2-0.8



„ щ - пР 100 - 400-0.2 ~ VnPq /400-0.2.0.8

Искомая вероятность р400(70-100) = Ф(2.5) - Ф (-1.25) = = Ф (2.5) -fФ 0.25).

По таблице приложения 1, находим:

Ф (2.5) = 0.4938, Ф (1,25) = 0,3944,

400 ( 70-100) = 0 . 49 38 -f 0,3944 = 0,8882.

Математическое ожидание числа появления события А в п независимых испытаниях определяется из равенства

М{х)=пР, (4-15)

где Р - вероятность появления события в каждом испытании.

Например, если вероятность брака детали равна 0,05, то математическое ожидание числа бракованных деталей из общего количества 100 шт.М{х) = 100 • 0,05 = 5 шт.

Дисперсия числа появлений события А ъ п независимых испытаниях

D{x)=nPq. (4-16)

Пример 4-17. По статистическим данным установлено, что вероятность нахождения параметра изделия в пределах ±1% от его номинального значения /"=0,6 Требуется определить математическое ожидание и дисперсию количества изделий х, укладывающихся в допуск ±1%, если испытывается десять изделий.

Решение. По условию Я=0,6, д= 1-0,6=0,4. Тогда М{х) = пР= 10 • 0,6=6, D{x)=nPq= 10 • 0,6 - 0,4=2,4.

Большой практический интерес представляют числовые характеристики среднего арифметического ряда независимых повторных испытаний. Обозначим величины, полученные в результате испытаний, Хи Х2, ..., Хп- Каждое из них по условию имеет одинаковое математическое ожидание, которое обозначим а, и одинаковую дисперсию D. Среднее арифметическое ряда испытаний:

+-«2 + •.•+Хп

где п - количество испытаний; Xi - результаты испытаний.

Математическое ожидание среднего арифметического М{х)=а, (4-17)



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143)