Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143) (22)

Дисперсия среднего арифметического

D(x)=. (4-18)

Среднее квадратичное отклонение среднего арифметического

а(х)=/0Й=. (4-19)

У п.

Это значит, что среднее арифметическое х ряда повторных испытаний имеет гораздо меньшее отклонение от математического ожидания, чем результат отдельного испытания.

Пример 4-18. Среднее квадратичное отклонение отдельного измерения некоторого расстояния А ст=12 м. Расстояние А измерено 9 раз и по полученным результатам измерений вычислено их среднее значение. Определить среднее квадратичное отклонение среднего арифметического значения А.

Ответ: а{х)=4 м.

4-5. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Зависимость вероятности от значения случайной величины, заданная таблицей распределения, может иметь различный характер, может подчиняться различным за-койам. Нас будут интересовать законы распределения, которые имеют наибольшее значение при организации выборочных испытаний и в теории надежности. При выборочных испытаниях проверяется часть партий изделий (выборка) и нужно знать вероятность того, что из п изделий выборки т будут негодны. Эту вероятность обозначим Рп,т- Случайная величина т, т. е. количество негодных изделий выборки, может принимать значения О, 1, 2, 3... Ограничимся случаем, когда число изделий п. подвергаемое испытаниям, много меньше, чем число изделий N, которое содержится во всей партии: л<0,Ш. В этом случае интересующая нас вероятность Рп,т достаточно точно выражается биноминальным законом распределения, который определяется формулой Бернулли (4-12). Подставляя в нее поочередно все возможные значения т, найдем соответствующие вероятности Рп.т-



в частном случае, когда нас интересует распределение вероятности брака в выборке, Р - вероятность брака, а <7=1-Р - вероятность годности изделий. Размер выборки п и вероятность брака Р предполагаются заданными. Для случаев пг = 0 и т = п вероятности Рп,о=

==Г. Рп.т-=Р.

Пример 4-17. Вероятность выпуска изделий 1-го сорта равна 0,5. Испытывается 4 изделия. Найти закон распределения случайной величины /п - количества изделий 1-го сорта в выборке из 4 шт.

Решение. По условию =0,5 и д= 1-0,5 = 0,5. Величина т может принимать значения 4, 3, 2, 1, 0. Найдем вероятность этих значений, пользуясь формулой (4-12):

Р.,, = С1Р9=4-2-[-2

3 1 1

Аналогично на.ходим: Р2 = --> Р*.з=~ и PttjQ-

Таблица распределения имеет следующий вид:

Если вероятность интересующего нас события А мала, т. е. А - событие редкое, то распределение вероятности величины т, числа появления события А в п испытаниях, удобно находить по закону распределения Пуассона, который является частным случаев биноминального закона и справедлив для событий, вероятность которых мала Р(Л)<0,1:

Ра"»

~ от!

где е - основание натуральных логарифмов;

а - математическое ожидание числа появления события А.

На основании равенства (4-15) а = пР.



Особый интерес представляет случай, когда требуется определить вероятность того, что интересующее нас редкое событие не произойдет (т = 0):

.Я„,о = е-«. (4-20)

Применим распределение Пуассона для случая, когда нас интересует вероятность того, что некоторое событие А не произойдет за время t. Пусть известно, что это событие появится случайно и независимо, но вероятность его появления в единицу времени постоянна. Обозначим вероятность появления события А в единицу времени Я. Тогда, очевидно, математическое ожидание числа появления события А за время t a - Xt, а вероятность того, что данное редкое событие за время t не произойдет, определяется из равенства

Р<.о = е-". (4-21)

Полученное выражение щироко используется в теории надежности. Оно показывает, что вероятность непоявления редкого события убывает по экспоненциальному закону.

Пример 4-18. За 10 ч работы отказали 10 ламп из 100. Определить вероятность того, что за 10 ч работы не откажет ни одна лампа.

Решение. Вероятность отказа ламп в единицу времени 10

=ТооЛо=0-

Математическое ожидание отказов за 10 ч:

а = Х<=10-2.10 = 10-»=0,1. Вероятность отсутствия отказов ламп за 10 ч: Pio,o = e-°- = 0,9048.

4-6. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ПАРАМЕТРЫ НЕПРЕРЫВНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Существует много случайных величин, которые могут принимать любые значения в некотором интервале. Когда изготавливаются сопротивления некоторого номинала, то действительная величина сопротивлений мо-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) ( 22 ) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (115) (116) (117) (118) (119) (120) (121) (122) (123) (124) (125) (126) (127) (128) (129) (130) (131) (132) (133) (134) (135) (136) (137) (138) (139) (140) (141) (142) (143)