Сигналы, заданные на временном интервале [О, оо [, часто представляют их изображениями по Лапласу

X (р) = \ X (О -"dt, о

являющимися непрерывными комплексными функциями комплексной частоты p = a--ju). Обратное преобразование Лапласа

j 2jx

С) =-7ir- j (Р) е" rfp.

причем значение е выбирают из условия сходимости модуля произведения x(t) иа множитель е- (е>а).

Сигналы в виде последовательностей достаточно коротких импульсов, используемых в импульсных (цифровых) устройствах, во временной области описывают решетчатыми функциями x(i) целочисленного аргумента i (нормированного времени). Часто функции x(i) получают по непрерывной функции x(t) дискретизацией - выборкой значений функции x(t) через равные отрезки времени x(i) =x(t = iQ). В этом случае значение 6, разделяющее два смежных отсчета, называют интервалом дискретизации.

Такое представление может быть взаимно однозначным, если дискретизи-руемая функция x(t) относится к функциям с ограниченным спектром, а интервал дискретизации 9 выбран в соответствии с теоремой отсчетов Котельникова как el/2fB, где fa-верхняя граничная частота спектра функции x(t). В этом случае справедливо соотношение, называемое рядом Котельникова:

Л --ос

Временное и спектральное представления финитных решетчатых функций, описываемых конечным множеством значений, связаны формулами дискретного преобразования Фурье (ДПФ)

m- 1 т~-1

x{k\)== У x{i)W", х(0=-- V (Ь)!-"*, fe(0; т-1), (2.5)

1=0 А=0

где v = 2n/m - нормированная частота, связанная с частотой Q спектральных составляющих анализируемой функции соотношением Q=v/6; m - заданное число отсчетов функции x{i); W-e-i =е-J"/"*.

При вещественных значениях л:(() соотношение (2.5) избыточно, так как справедливо равенство x{kv)-x[{m-k)\], где звездочкой обозначено сопряженное значение. Вместо формул (2.5) часто удобнее использовать z-преобразо-вание решетчатой функции

.с (г)= 2 * (О г-, (2.6)

( = 0

где г - комплексный аргумент, связанный с интервалом дискретизации соотношением г=еР9. Обратное г-преобразование выполняют по формуле

где контур интегрирования охватывает все особые точки подынтегрального выражения, которые для ограниченных во времени функций лежат внутри окружности единичного радиуса.

Иногда вместо полного описания сигнала достаточно ограничиться его некоторыми характеристиками. К ним относятся среднее значеиие (постоянная составляющая)

среднее квадратическое значение и энергетический спектр сигнала

t, + t . 1/2

(/) dt

W {ш) = х (JM) X* (j (о) = л:(](о)2, связанные соотношением

-<ск = j (») diu.

- ос

Временной характеристикой случайного процесса (полезного сигнала или помехи) является корреляционная функция

R{ti,t)-J J lx{t,)-m,{ti)][x{i,)-m{t,)]p[x{ti),

- оо - оо

x(Q]dxU,)dx(t), (2.8)

где p[x(t)] и p[x{ti), x{i2)] -одномерные и двумерные плотности распределения вероятности анализируемого сигнала, а математическое ожидание mi{ti) и mi (/2), в общем случае зависящее от времени, вычисляют по формуле

Щ()= J x(i) Plx{t)]dx{t).

- 00

Для стационарных случайных процессов математическое ожидание и одномерная плотность вероятности не зависят от времени. В этом случае вместо (2.8) используют соотношение

ff(T)= J J lx(t)-I]lx{t + T)-lc]plx(t), x{t + T)]dx{t)dx{i + x).

- 00 - 00

Корреляционная функция эргодического случайного процесса определяется по его достаточно длинной реализации соотношением

х (t) х \ / -т) rfT

Rix) = Um~ г.

ii для решетчатых функций тп

R(i) = \\m 2 x(k)x(k+i). (2.9)

Преобразование (2.1) корреляционной функции стационарного случайного процесса в силу ее четности описывается формулой

«7 (,,j)=:2f/?(T)co.sMTdT, (2.10)

определяющей энергетический спектр переменной составляющей процесса.

Часто корреляционную функцию нормируют с помощью значения R(Q), соответствующего дисперсии а* случайного процесса: г(т) =Л(т) ?(0) =/?(т)/а.

Таким образом, практически все преобразования сигналов, выполняемые при анализе радиотехнических устройств, связаны с интегрированием, которое не всегда удается выполнить аналитическими методами даже при аналитической модели преобразуемого сигнала. В этом случае приходится использовать методы численного интегрирования, из которых наиболее употребителен метод, основанный на использовании приближенной составной формулы Симпсона (формулы парабол)

/ =J7W dx if {.а))+Ц (a+h)+2f (a+2h) + AI (а + Щ +

+ .. . +2/ (6-2Л) +4/ (b-h) +/ (ft)) Л/З, (2.11)

где п - четное число разбиений интервала интегрирования; h=(b-а)/п - шаг интегрирования.

Программа 25. Вычисление определенных интегралов 1(х) по составной формуле Симпсона

ПЗ ПП 40 П9 ИПЗ ИП7 П8 - ИПЗ ~ П7 ПП 40 1 ПП 28 4 ПП 28 2 БП 14 ИП9 3 ~ ИП7 X С/П х ИП9 + П9 ИП8 ИП7 + П8 КИПЗ ИПЗ хО 22 ... В/О

Инструкция. Заменить в программе многоточие фрагментом вычисления подынтегральной функции при .с = Р8 и занятых регистрах 3, 7, 8, 9; нижний предел интегрирования а = Р7, верхний предел интегрирования 6 = Р8, четное число разбиений интервала интегрирования п==РХ В/О С/П РХ=/(л:).

Пример. Для интеграла

0 = Viln С e~dt = 0,95450 6

получим: при /г = 2 (f«25 с) Ф = 0,94721073; при п = 4 (<«40 с) Ф = 0,9544021; при п = 8 (taiSO с) 0 = 0,95449475; при п=16 (<«2,5 мин) 0 = 0,95449937; при п = 32 мин) 0 = 0,95449968.

Для мажоритарной оценки погрешности интегрирования по формуле Симпсона обычно используют соотношение Д/<:Л*/(6)/90, 6g[a, 6J.