При оценке погрешности интегрирования применительно к анализу сигналов более удобен спектральный подход, при котором погрешность связывают с искажением спектра. Вводя коэффициент, равный отношению комплексной амплитуды, полученной в результате численного интегрирования гармонического сигнала, к амплитуде, являющейся результатом точного интегрирования, для формулы Симпсона получаем

k = ЛвычМточ = шЛ(2 + со8(йЛ)/(3 sinM/i). По этой формуле несложно выбрать значеиие Л, обеспечивающее преобразование спектра интегрируемого сигнала в заданном интервале частот от О до (Овя/Л с требуемой точностью. Следует лишь учитывать, что при уменьшении Л н увеличении п возрастают операционные погрешности результата численного интегрирования.

Вычисление интеграла с заданной погрешностью можно полиостью автоматизировать [15], учитывая, что методическая погрешность формулы Симпсона уменьшается примерно в 15 раз при уменьшении шага в 2 раза.

Программа 26. Вычисление определенного интеграла 1(х) по составной формуле Симпсона с заданной предельной абсолютной погрешностью е

П9 1 5 X х2 П9 Сх П2 П5 ИП8 ИП7 - П6 ИП7 ПП 53 ИП5 П4 Сх П5 ИП7 ИП6 2 - + ПП 53 ИП9 ИП4 ИП5

2 X + П4 Вх + ИП6 2 П6

X 3 ИП2 П2 - х2 - х>0

18 ИП2 С/П ПЗ ... ИП5 + П5 ИП8 ИПЗ ИП6 + ПЗ - х<0 54 В/О

Инструкция. Заменить в программе многоточие фрагментов вычисления подынтегральной функции при л:=РЗ и занятых регистрах 2...9; (а = Р7, 6 = Р8) е = РХ В/О С/П РХ = /(а:).

Для интеграла из примера к программе 25 по этой программе при е=10-* получим 0=0,95449473 (<j:al мни 45 с).

Для численного интегрирования определенных интегралов с аналитически заданным подынтегральным выражением может оказаться удобным использовать и другие методы, в частности составную формулу Гаусса второго порядка [4, 11].

При интегрировании сложных функций в связи с ограниченной емкостью памяти может оказаться необходимым предварительное преобразование (в частности, нормирование операндов) подынтегрального выражения. Необходимость в аналитических преобразованиях может возникнуть при стремлении подынтегральной функции или ее производных к бесконечности в интервале интегрирования, что приведет к лереполиению или чрезмерной методической погрешности результата интегрирования. Такие особенности можно устранить, заменив переменные или интегрируя по частям [4, 14].

Если в интервале интегрирования возникают неопределенности, то их следует раскрыть и ввести в программу разветвления для вывода соответствующих значений функции. Редактирование базовой программы 25 может оказаться целесообразным и в других случаях, например, когда подынтегральная функция

имеет постоянный множитель или составляющую либо когда один или оба предела интегрирования соответствуют особым точкам.

В качестве примера рассмотрим вычисление функции плотности вероятности аддитивной смеси гармонического сигнала с амплитудой А н случайным равновероятным в интервале [-л; л] распределением фазы с нормально распределенным шумом (имеющим нулевое математическое ожидание н дисперсию а*), описываемую сверткой

Р(г) =--

ехр[-(.-г) (2.12)

У2л»

где интегрируемая функция обращается в бесконечность иа границах интервала интегрирования.

Для устранения указанных особенностей воспользуемся подстановкой х - =Асоъу, откуда находим я

Р(г) =-1 ехр

(Асоъх-гу

Для уменьшения числа исходных данных примем нормировки В=А/а и <) = г/а, получим

Р (If) = -\ «хр У2Л

(В COS y--f

Интеграл (2.12) приходится вычислять многократно при фиксированных пределах интегрирования и различных значениях г). Поэтому целесообразно изменить начало базовой программы 25, сохранив шаг и пределы интегрирования после каждого выполнения программы. Для сокращения программы вычислим предварительно коэффициент 1/(ЗУ2лЗ), используя его в качестве исходного. Тогда на основе базовой программы 25 получим следующую рабочую программу.

Программа 27. Вычисление плотности вероятности смеси гармонического сигнала со случайной фазой и гауссовского шума

л П8 ПЗ П7 ПП 40 П9 Сх П8 ПП 40 1 ПП 28 4 ПП 28 2 БП 14 ИП9 ИП7 у ИП4 к С/П ,Х ИП9

+ П9 ИП8 ИП7 + П8 КИПЗ ИПЗ хфй 22 ИП8 cos ИП6 X ИП5 - х 2 е"

1/х В/О

Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в положение Р; (1/(ЗУ2лЗ)=Р4, \) = Р5, В = Р6) п = РХ В/О С/П PX=p(i)).

По этой программе при = В=\ и п=8 получим р(1 )= 0,23589307 (<ж ;==85 с), а при п=12 получим р(1) =0,2358915 (<«130 с); следовательно, можно принять р(1) =0,235891 с шестью верными цифрами.

Базовую программу 25 можно использовать и для вычисления криволинейных интегралов

iP{Xr, x)dX:, + Q{Xr, x,)dx

после подстановки Xi = (f{t), X2 = i(t) и перехода к обыкновенному интегралу

(Р{ф{0,гз{0)ф {0 + С{ф(0. (t))dt.

Для приближенного вычисления двойных и тройных интегралов предназначены программы, приведенные в [11, 15].

В тех случаях, когда интегрируемая функция задана табличной модельк> y,-y(Xi), i=0, 1, .... п, проще всего использовать формулу трапеций

/ W= S {4-4~i) (</i+!/,--i)/2 (2.13)

1 = 0

с переменным в общем случае щагом h - xi-Xi~\.

Программа 28. Интегрирование табулированной функции уг = у(хг), 1 = 0,1,..., п, с неравноотстоящими узлами

П8 П7 Сх П9 С/П ИП8 П8 +

ИП7 П7 - X 2 -т- ИП9 + БП 04

Инструкция. л:о = РУ, i/„ = РХ В/О С/П РХ = 0, Xi = PY, г/г=РХ С/П РХ = /i, = PY, 1/2 = РХ С/П РХ=/2...

При равноотстоящих узлах (постоянном шаге) табличной модели функции программирование вычислений по формуле трапеций несколько упрощается.

Программа 29. Интегрирование табулированной функции yi=y(xi), i=0, 1, п, с постоянным шагом h=Xi-аргумента

П7 Сх П8 С/П ИП7 « П7 + 2 ИП9 X ИП8 + БП 02

Инструкция. (Л = Р9) 1/0 = РХ В/О С/П РХ = 0, i/i = РХ С/П PX=/i, (/2 = РХ С/П РХ = /г ... 1/„ = РХ С/П РХ = /„ = 1{х).

Пример. Для 1/, = 0,79789; 0,48393; 0,10798 ; 0,0088637; 0,0002677 с шагом ft=l и л:о=0 получим /, = 0,640915; 0,937875; 0,99529685; 0,99986255.

Интегрирование по формуле трапеций соответствует, строго говоря, физически нереализуемой кусочно-линейной аппроксимации табулированной функции. Поэтому во многих случаях более точными оказываются результаты численного интегрирования, основанные на квадратичной (параболической) аппроксимации по формуле Симпсона.

Программа 30. Интегрирование табулированной функции yi-y(xt), i=0, 1, ., п. с нечетным числом л-Ы равноотстоящих узлов по формуле Симпсона

ПЗ -V П9 П8 С/П КИПЗ 4 X ИП8 + П8 С/П t ИП8 + 4- L3 04 Вх ИП9 X 3 С/П

Инструкция. I/O = PZ, ft = PY, л = РХ В/О С/П у = РХ С/П у, = РХ С/П 1/3 - РХ С/П. ..!/„ = РХ С/П РХ = 1(х).