x(i). Поэтому при большом числе отсчетов для вычисления значения мож-

но ограничиться частью табличной модели с предельным для выбранной программы числом т отсчетов н интервалом аргумента, в котором заданное значение I находится примерно посредине. В этом случае нумерация отсчетов выбранной части табличной модели должна начинаться с нуля, а значение аргумента должно быть заменено значением -то, где то - число отсчетов отброшенной начальной части табличной модели.

2.6. Статистическая обработка информации и корреляционный

анализ

Типичной задачей статистической обработки информации является оценка начальных или центральных моментов случайной величины по ее выборке объемом п:

1 " 1 "

"fe =- 51 4 * =- (Xi - rrii).

п п

1=1 1=1

Обычно ограничиваются оценкой первого начального н трех центральных моментов, по которым находят оценку дисперсии a-=nMil(n-1), асимметрии

распределения Уз = MlVМ\ " коэффициента эксцесса У4 = -3

Первые центральные и начальные моменты связаны соотношениями:

= т« - т\; М - т., - тт + 2т\ = т, - Шт - т\\ М = nit --ЫзШ! + 6mjjmJ - 3m = т - 4Мзт1 - 6M.jm - т\. (2 27)

Эти соотношения использованы в следующих программах статистической обработки выборки Хи Хг, Хп случайной величины.

Программа 60. Вычисление оценок первых начальных mi, mj, Шз, m центральных М2=о*, Мз, M моментов, коэффициентов уз асимметрии у« эксцесса

Инструкция. В/О С/П РХ=0, xt = PX С/П РХ=1, х=РХ С/П РХ = 2, д;з=РХ С/П РХ==3 ... Хп = РХ С/П (t»7 с) РХ=/1 БП 3 3 С/П (/«20 с) РХ=

= Р5 = т,, Р6=/П2, Р7=т,, Р8==т4. Р9=М2=о«, РА=М,, РВ=Л?, РС=уз. РД=У4; для продолжения вычислений Хп-ц = РХ С/П PX=/i-f 1, ...

Пример. Для выборки л:(=1,01; 1,02; 1,03; 1,04; 1,05 получим т,= 1,03, т2= 1,0611, тТ= 1,093345, т4= 1,1267819; М2 = а2=0,0002, "3=2,185454, лТ..-=

= -9,00407. 3 = 772674,67, у« = -2,2510175-10*.

Для уменьшения затрат времени программа 60 может быть преобразована - изъяты фрагменты для вычисления оценок, не требуемых для решения задачи. Во многих задачах требуется вычисление лишь оценок mi и последовательности случайных чисел. Если заранее неизвестно требуемое число элементов выборки, то в этом случае можно использовать следующую программу.

Программа 61. Вычисление текущих оценок nii и последовательности случайных чисел х

П7 П8 1 П4 ИП7 С/П ИП7 - П9

КИП4 -+ ИП4 4- ИП7 + П7 ИП9 х ИП4

ИП4 2 - ИП8 X ИП4 1 4

+ П8 ИП7 БП 06

Инструкция. ;С = РХ В/О С/П хРХ С/П ... x„ = PX С/П PX=mi„ PY = 02,, P4 = i («8 с), х„+, = РХ С/П ...

Пример. Для ;1с<=1,01; 1,02; 1,03; 1,04; 1,05 соответственно получим ти =

= 1,01; 1,015; 1,02; 1,025; 1,03 и а2( = 1; 0,00005; 0,0001; 0,0001666667; 0,00025.

Вычисленная по этой программе текущая оценка дисперсии отличается от оценки второго центрального момента множителем и при распределениях

случайных величин, отличающихся от нормального, может оказаться смещенной. В частности, из сравнения данных примеров к программам 60 н 71 видно, что вычисленная по программе 61 оценка дисперсии смещена и несколько отличается от оценки Ml, вычисленной по программе 60.

Если математическое ожидание т\ и дисперсию оценивают для выборки Xi заданного объема, целесообразно использовать следующую программу, в которой оценка дисперсии равна оценке второго центрального момента.

Программа 62. Вычисление оценок т\ и а выборки из л случайных чисел

Сх П8 П9 П6 С/П х- Вх ИП8 + П8 - ИП9 + П9 КИП6 ИП6 БП 04 ИП8 ИП6 4 П7 ИП9 ИП6 ~ ИП7 х2 - БП 04

Инструкция: В/О С/П (/»3 с) РХ=0, xi = PX С/П РХ=1, X2=PX С/П РХ=2 ... л:„=РХ С/П РХ=л (/«4с) БП 1 8 С/П (/«5 с) PX=a PY = = mi; для продолжения вычислений x„+i = PX С/П РХ = «--1...

Пример. Для выборки л;( = 1,01; 1,02; 1,03; 1,04; 1,05 получим 02=0.0002, mi =1,03.

Если для обрабатываемой выборки случайных чисел a=»mi, то вычисление оценок центральных моментов по формулам (2.37) может привести к значительным операционным погрешностям [15]. Их можно уменьшить, вычитая из вводимых значений Xi число а, близкое к ожидаемому значению шь Тогда после окончания вычислений искомое значение mj = m,-i-a, а в формулы для вычисления оценок остальных центральных моментов вместо mi следует подставить ml.

3» 67

При небольшой дисперсии случайных чисел Xi этот процесс можно автоматизировать, приняв в качестве числа а значение mi и соответственно изменив программу.

Программа 63. Вычисление оценок т, и а выборки из большого числа п случайных чисел Xi

П5 Сх П6 П8 П9 кипе ИП6 СП ИП5 -х2 Вх ИП8 + П8 ИП9 f П9 БП 05 ИП8 ИП6 -г П7 ИП5 + П4 ИП9 ИП6 - ИП7 х2 - БП 07

Инструкция. x, = PX В/О С/П РХ = 1. Х2 = РХ СП РХ = 2 ... а-„ = РХ (/«4 с) РХ = п БП 2 1 С/П (/»5 с) РХ = а2, PY = P4 = m,, P7 = m,.

Эту программу целесообразно использовать, если mia, но числа xi со держат не более восьми значащих цифр. В этом случае операционные погрешности результата можно уменьшить, используя оценку mi = mi+j;i. Например, для x, = 10000,015; 10000,037; 9999,99; 10000,045; 10000,095 по этой программе получим 02=0,00122384, mi = 10000,036, ml =0,0214 и уточненная оценка mi = mi + X=lOOOO,0364. При обработке той же выборки, например, по программе 61 получим mi = 10000,036, 0 = 0, так как при вычислении дисперсии зна чения х округляются до восьми значащих цифр. Если числа содержат более восьми значащих цифр мантиссы одинакового порядка, следует выбрать число а, близкое к среднему значению выборки, вычислить по одной из приведенных программ ml для хi=Xi-о и лишь после этого без микрокалькулятора найп/ значение mi = mi-fa.

В радиотехнике большое значение имеют корреляционные соотношения меж .ту различными случайными сигналами или между значениями одного и того же сигнала в различные моменты времени. Корреляционная связь между случайными величинами у/ и Xt со средними значениями шчу и mu их совместной выборю! размера л определяют корреляционную функцию

Rxv - У (yi-miy)(xi - m). п

При анализе корреляционной связи .между двумя непрерывными случайными процессами их реализации предварительно днскретизируют и чаще всего используют нормированную корреляционную функцию

г (ху) .ху у {У1~т,у) {xi - nii)

для случайных величин (/, и х,- по их совместной выборке.

Программа 64, Вычисление оценок нормированной корреляционной функции г(ху)