П1 П2 X ПО ИП1 X ПЗ ИП2 х

П4 Сх П5 КИП5 ИПб С П ПД ПС х

ИПО f ПО ИПД ИП1 + П1 ИПС ИП2 +

П2 ИПД х» ИПЗ + ПЗ ИПС х ИП4 т

П4 БП 13 ИПО ИПб X ИП1 ИП2 х -

ИПЗ ИПб X ИП1 х2 - ИП4 ИПб ИП2

х2 - X /~ -f- БП 16

Инструкция. уо = РУ, Хо=-РХ В/О С/П (РХ=1) i/i = PY, Л = РХ С, 11 (РХ = 2) ... уп=Р\, x„=PX С/П (РХ = п+1) БП 4 3 С/П Р\ = г{ху).

Пример. Для ((/,, x,) = (l; 1,01), (2: 1,02), (3; 1,03), (4; 1,04), (б; 1,05) получим г{ху) = -46.

Отличие от нуля нормированной корреляционой функции свидетельствует о линейной зависимости между средним значением одной из случайных величин и значениями другой случайной величины, отображаемой уравнениями линейной регрессии

"Hxiy) mixiO) + miy(.K) = m,j,(0) + р, х.

В этом случае начальные значения mu(0) и /ni„(0) называют условными, а величины Рх\,, = Гхуах/с1у и Piiix = rxyayax коэффициентами линейной регрессии. Для вычисления этих коэффициентов часто используют метод наименьших квадратов [9], но эти величины и условные mi„(0) ="ij-p„i.t тх, mu(0) =тиг-PtIj, тц Можно найти по параметрам совместной выборки.

Программа 65. Вычисление коэффициентов линейной регрессии fiziy, fiyix, условных 1п,х (0), 1П\у (0) и оценок характеристик совместной выборки случайных величин yt и Xi

Сх ПО П1 П2 ПЗ П4 Пб С П П7

П8 X ИПО + ПО ИП7 ИП1 П1 ИП7

х2 ИП2 + П2 ИП8 ИПЗ 4 ПЗ ИП8 х« ИП4 - П4 КИП5 ИП5 БП 07 ИП2 ИП1 х ИПб 4 - П7 ИП4 ИПЗ х2 ИПб 4 -

П8 X V- ИПО ИП1 - ИПЗ - «

П9 ИП7 ИП8 4 П6 х ПА ИП9 ИПб

1/х X ПВ ИПЗ ИП1 ИПВ X - ИПб 4 ПС ИП1 ИПЗ ИПА X - ИП5 4 БП 07

Инструкция. В/О С/П РХ = О, I/, PY, .vj = РХ С/П (/=«8 с) РХ I. ., = PY, хРХ С/П РХ=2 ... (/„ =PY, л:„---=РХ СП РХ = п БП 3 7 С/П (/«.16 с) РХ . т,АО). PY == РО =Щу{0), РА -= , РВ = р, (Р7 = па, Р8 =па1., Р9=Гху, Р1 пт,х. РЗпщу); для продолжения вычислений уп,\ PY, *„, -:РХ С/П PX=n г 1 ...

Для совместной выборки из примера к программе 64 по этой программе получим m,j;(0) = 4741, mij,(0) = 2,41, Pj - -0,46, р1 -4600(na. = lO", 10=10, Гху -= -46, nmix = Ь,15, nmiy-ib), что соответствует уравнениям регрессии miy{x) = 4741 - 0,46 х, niixiy) = 2,41 - 4600 у.

Анализ корреляционной функции г (т) случайного процесса можно свести к вычислению по двум выборкам случайной величины, смещенных на s отсчетов эмпирической нормированной корреляционной функции:

г (5в) - -

п- s

i= 1

-(n-s)

\; = i

(•= I

(n-s-\),(n-i)

Максимальное число s отсчетов ограничено емкостью памяти ПМК при вычислении г (s6) с помощью одной программы.

Программа 66. Вычисление стационарной временной корреляционной функции r{sx)

Инструкция. 0=Р7, 14= РО В/О С/П x, = PX С/П (PX = x,) X2=PX С/П (РХ = Хг) ... х„=РХ С/П (PX=x„) п = РА В/О С/П PX=r(6Ax) С/П РХ=г(5Дх) ... С/П РХ = г(Ах).

Пример. Для х, = 1; 3; -2; },5; 0,5; 0; 1; -1,5; 2; -1; 0,5 -1,5 получим (12 = РА) г(6Дх)=-0,782774, г(5Ax) =0,5278752, г(4Ax) =-0,196785, r(3Ax) = = -0,148699, л(2Ax) =0,391689, г(Дл:) =-0,616374.

Вычисленные оценки параметров случайных величии также являются случайными, и поэтому статистическую обработку информации часто дополняют анализом точности этих оценок. С этой целью по известным размеру п обрабатываемой выборки и распределению случайной величины в соответствии с требуемой точностью оценок определяют доверительный интервал, в котором с заданной (доверительной) вероятностью Ядов находится истинное значение оцениваемого параметра. Чаще всего возникает необходимость в определении доверительного интервала оценки математического ожидания

(т, -ta Уп) < /и, < (ш, f/а/Уй), (2.28)

где величина t = t(n, Рдов). называемая квантилем распределения выборки, равна значению аргумента функции распределения, которому с заданной вероятностью Р соответствует выполнение условия x<Ct или при симметричном распределении равенства

,1 р (х) dx = Р,

где р(х) -• плотность вероятности (при двусторонних оценках значение инте! рала удваивают).

Для оценки математического ожидания случайной величины с нормальным распределением, дисперсия которой известна, используют квантили t(p) нормального распределения. В общем случае эти квантили определяются решением интегрального уравиеккя Pz=0{t{p)), где правая часть содержит специальную функцию, называемую интегралом вероятности

Ф(х)= \/ -\ е" dz. (2.29)

В некоторых таблицах [4] табулированы значения Фг,(а:) =2Ф(л:). а во многи.ч приложениях используют функцию 1-Ф{х). Если эта функция меньше 1-10 *. то при непосредственном вычислении на ПМК по величине Ф(х) результат по падает в область машинного нуля, в связи с чем ее приходится вычислять другими способами.

В некоторых приложениях вместо интеграла вероятности используют функ цию ошибок

erf а: = - Ге-*г-Ф(.v-V2). Уя {

которая может быть вычислена как интеграл вероятности при соответствующеvt значении аргумента, а также функцию erfc д:= lerf х.

Программа 67. Вычисление интеграла вероятности Ф(д:). функций 1-Ф{х). erf д: и erfc х с шестью верными цифрами

Инструкция. а:=РХ в/о С/П РХ = Ф(.с), PY=I-Ф(а:): время счета

менее 2 мни при а:<3 и около 17 с при .v>3; при дгУ2 = РХ В/О С/П PX = erf х. PY=1-erf A: = erfc х.

Примеры. Ф(0,1) =0,079655672 (/«23 с); Ф(2,9) =0,99626842 «»2 мин): Ф(5,5) = 1; 1-Ф(5,5) =3,7977891-10-* (/«17 с); erf 4 = Ф(4>2) = 1; erfc 4 = = 1,5416369-10-» (/«16 с).

Если при определении квантилей t(p) нормального распределения допустима относительная погрешность до 10%. то их можно вычислять по приближенной формуле

7(1,47 + 0,4377) ,/ / 2 \2~ ,-

(1+0.4827) • V = п( ) У1п4.