Программа 68. Вычисление квантилей нормального распределения Цр) с относительной погрешностью 60,1 по заданной вероятности Р

П9 1 - 2 X» 1п 4

In - П8 О , 4 8 7 X

1.47+ ИП8 X О 4

8 2 ИП8 > 1 -Н 4 СП

Инструкция. Р=РХ В/О С/П РХ = /(р); /» 12 с.

Примеры. /(0,25) =0,3181, /(0,5) =0,6743, /(0,99) =2,576, /(0,999) =3,291.

Если дисперсия случайной величины неизвестна, то в неравенство (2,29) вместо значения а подставляют -его оценку о, а в качестве коэффициентов / используют квантили t(n, Р) нормального распределения Стьюдента [4]. Достаточную для большинства расчетов точность (не менее трех верных цифр) вычисления этих квантилей обеспечивает простое аппроксимирующее выражение:

t(n, Р)=/(ао, P)/Vl-а/л + Рл2, (2,30)

где /(оо, Р) - квантили нормального распределения, а коэффициенты а и Р выбирают по заданному значению доверительной вероятности Р - Раов. Значения н9°, Р), а и р для наиболее употребительных значений доверительной вероятности даны в табл. 2.1, а промежуточные значения этих величин определяются интерполяцией табличных данных.

В большинстве практических задач статистическую обработку больших массивов данных целесообразно продолжать до получения оценок Параметров случайных величии с требуемой точностью. В частности, оценивание и а для заданного значения доверительной вероятности следует прекращать при выполнении неравенства (2.28). Проверку выполнения этого неравенства целесообразно автоматизировать, задаваясь предельной относительной погрешностью оценки математического ожидания аД/п, /!].

Программа 69. Вычисление оценок /П] .и ст с заданной предельной относительной погрешностью bAm,jihi

П7 х> П8 1 П4 Сх П6 КИП6 ИП6 С/П

ИП7 - t ИП4 П5 1 + П4 -Ь X

Вх * ИП4 2 - ИП5 ИП8 X +

П8 ИП7 + П7 « ИПВ ИП5 ИПА

- ИП5 + н- х> 0 07 ИПС X П9

ИПД - х<0 07 у- t ИП8 ИП7 С/П

Таблица 2.1. Коэффициенты формулы (2.30) для аппроксимации квантилей распределения Стьюдеита

Инструкция. Для заданной доверительной вероятности из табл. 2.1 ввести а = РА, Р = РВ, /(«>, Р)=РС, б = РД, х,=РХ В/О С/П РХ = 1, д:2=РХ С/П РХ = 2 ... Xi = PX С/П РХ = ЕГГОГ С/П РХ = Р7=т,, PY=P8=a«, P9 = Ami/mi.

Пример. Для определения mi с предельной погрешностью 1 % при доверительной вероятности Р=Рдо« = 0,95 (а = 2,387, Р=1,26, /(оо, Р) = 1,96, 6=0,01) после ввода дг,=1,05; 1,08; 1,03; 1,06; 0,98; 1,01, 1,03; 0,99; 1,03; 1,02; 1,05; 1,02; 1,04; 1,03; 1,06; 1,02; 1,02; 1,01; 1,04; 1,03; 1,03; 1,04; 1,02; 1,05 и высвечивания символа ЕГГОГ получим /Ri = 1,0308696, 0=5,0830028-10-«, Ami/m, =0,00968.

В радиотехнических задачах часто встречается необходимость в оценке распределения случайной величины. Обычно используют различные критерии для проверки непротиворечивости выбранной гипотезы о предполагаемом распределении. В некоторых случаях для проверки гипотезы о нормальном распределении случайной величины достаточно найти оценки параметров ее распределения [18].

Программа 70. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины по объему п выборки, коэффициентам асимметрии уз и эксцесса у*

х» V~ П7 х2 V~ П8 П9 9

П2 ИП9 1 - 1 ИП9 -f -4 6 X ИП9 3 ПЗ -f КИП2 -т- С/П ИП9

4 X ИП9 ИПЗ - L3 32 х» -4 5

БП 15

Инструкция. n = PZ, Y3=PY, у*РХ В/О С/П (/«8 с) РХ = а,/\уз\ С/П (/«12 с) PX = ay/\yt\. Гипотеза непротиворечива, если результаты вычислений ау/\>1. Для ПМК с входным языком ЯМК52 можно заменить фрагменты Х2 У операторами [х] и соответственно изменить адреса переходов.

Пример. Для л=9, Y»=0,34, у4=0,18 получим /уз =1,8601633, о / Y4 =5>1031036, и, следовательно, гипотеза о нормальном распределении непротиворечива.

Более полную информацию о распределении случайной величины х получают из аиализа частот yfij попадания случайной величины в /=е интервалы (называемые классовыми), иа которые разбит отрезок [л:т1п, дгтах] изменения случайной величины.

Программа 71. Вычисление частот if, попадания случайной величины х в А!12 (ft<13 для ЯМК52) равных классовых интервалов отрезка [хтах, Xmin]

ИПД - X 1 + ПС кипе 1 +

КПС С/П БП 00 ПД - ИПб ПС

КИП6 ИПб ПО Сх КПО ИПО х=0 23 ИПС 1/х t t БП 12

Инструкция. Л = Р6, .tmax=PY, л:т1п=РХ БП 1 5 С/П (/=» 18 с) PX = ft/ (*max-АГшш), Xi = PX (В/О) С/П л:2 = РХ (В/О) С/П ... л:п = РХ (В/О) С/П Pl=iJ)i, P2=iJ)2, P3 = iJ)3, ... Pk=in. Для ПМК с входным языком ЯМК52 прн А=13 следует заменить операторы обращения к регистрам памяти РД и PC соответственно операторами обращения к регистрам памяти РЕ и РД; для исправления ошибочно набранного числа Xt необходимо использовать оператор Сх, ие изменяя содержимого остальных регистров операционного стека.

Пример. Для А!=10, x„ax=2,6, Xmin = l,3, х\ = 2\ 1,4; 1,8; 1,65; 1,96; 2,1; 1,35; 1,72; 2,2; 2,53; 1,95; 2,15; 2,05; 2,3; 2,4 получим ф=2, ij)2=0, i)8=l, ij)4=2, ij5=l, ij)6=3, ij)7=3, 8=1, •фв=1, iJ)io=l.

Предельное число классовых интервалов можно удвоить при хранении в каждом регистре двух зиаченкй if, в виде числа ij),10*4-i),+i [27]. Для простоты составления программы и уменьшения затрат времени ограничимся случаем *=20.

Программа 72. Вычисление частот ф, попадания случайной величины в 20 равных классовых интервалов отрезка [JCmin, Xm«i]

ИПС - ИПД X 1 + ПВ КИПВ - ИПВ

- 2 1/х - х<0 22 КИПВ 1 ВП 4 БП 24 КИПЕ 1 + КПВ С/П БП 00 ПС

- 1 О 1/х ПД 1 1 ПО Сх КПО ИПО х = 0 39 БП 26

Инструкция. .tmai=PY, а:„1„=РХ БП 2 9 С/П (/«18 с) РХ=0, д: = РХ (В/О) С/П (/«7 с) Xj = PX (В/О) С/П ... x„ = PX (В/О) С/П Р1 • Ю+фг.

Р2=фз-10+4..... РА=ф1в-10+ф2о; для ПМК с входным языком ЯМК&2, чтобы

сократить длину программы, следует заменить фрагмент КИПВ-»-ИПВ оператором х н соответственно изменить адреса переходов.

Пример. Для выборки xt из примера к программе 71 при Хтлх - 2,6, Amin - = 1,3 получим Р1 = 10001, Р2=0, Р3=1, Р4 = 10001, Р5=1, Р6= 20001, Р7 = = 10002, Р8=1. Р9 = 10 000; РА=10000 или = *2=I. •фз=0, 4 = 0, ij)5=0,

6=1, Ф7=1, »=\, lje = 0, 1)10=1, *11=2, ф12=1, Ф13=1, Ф14 = 2, ф,5=0, ljl«=l, Ч>17=». •ф« = 0, 4)19=». *20 = 0.

По частотам попадания случайной величины в различные классовые интервалы судят о параметрах ее распределения. Для этого используют различные критерии, но большинство из них отличается лишь способами решения соответствующих уравнений. После определения параметров распределения случайной величины полученные оценки (особенно в тех случаях, когда нет уверенности в правильности оценки распределения) чаще всего проверяют по критерию согласия X* с помощью функции, называемой статистикой:

У = 2 {VilnPi)-n, /=1

где k - число классовых интервалов, иа которые разбит исследуемый отрезок [Xmin> Jmai] значеннй случайной величины; tfj - частота попадания в /-й классовый интервал; л - объем выборки; р. - вероятность попадания случайной величины в /-Й классовый интервал в соответствии с проверяемым распределением р{х}.

При бесконечном объеме выборки распределения статистики у стремится к распределению х с r=k-l-\ степенями свободы, где / - число параметров распределения р(х). Подсчитав статистику у по числу степеней свободы г и выбранному уровню значимости а, определяющему вероятность отклонения гипотезы о распределении (ошибки первогэ рода по критерию Неймана - Пирсона), находят квантиль Хг а уравнения