Инструкция. a2=PZ, a, = PY, ao = PX В/О С/П PX=ai, PY = a2 (корни вещественные) или РХ = ЕГГОГ (корни комплексно-сопряженные) С/П PX==Rep,,2, PY = Impi,2 (tail с).

Пример. Для уравнения Зр+бр-45=0 получим корни Oi = 3, 02=-5, для уравнения 2р2+8р+10=0 - корни pi,2==-2±jl с нулевыми невязками.

Если корни уравнения второй степени вещественны, то прн аааг возникает значительная операционная погрешность вычисленного по формуле (3.19) корня с меньшим модулем. Например, для уравнения р+10 000р+9=0 по программе 118 получим oi=-Ы0- н 02=9999,999 с невязками Л(о) = =Л(а2)=-1. Прн вычислениях на микрокалькуляторах рассматриваемых типов корней уравнения второй степени с ai>2-ЮУаоОг они фактически распадаются на два уравнения, и при использовании формулы (3.19) погрешности возрастают еще больше. Так, для уравнения р-Ь 100 000р--9=0 по программе 118 получим Oi=0, 02=-100 000 с невязками Л (Oi) = Л (02) =9. Поэтому для решения уравнений с отличающимися по порядку уравнениями целесообразно изменить алгоритм вычислений, устранив операцию вычитания близких чисел [15], характерную для формулы (3.19) прн ai3>yaca2.

Программа 119. Вычисление корней уравнения a2P*+aip--ao=0 с повышенной точностью вычисления меньшего по модулю вещественного корня

П9 П8 П7 2 /-/ П6

х* П4 ИП9 ИП7 П5 - х>0 32 / ИП4 / + Вх ИП6 -г- X t ИП5 -f- С/П / t /-/ V ИП6 С/П

Инструкция. a2=PZ, ai=PY, ао=РХ В/О С/П PX=ai, PY=a2 (корни вещественные) нли РХ = ЕГГОГ (корни комплексно-сопряженные) С/П РХ= = Rep,,2, PY = Imp,,2 (Р7 = а2, P8 = ai, Р9 = ао); tuad с.

Примеры. Для уравнения Зр + бр-45 = 0 получим ai = 3, 02=-5, для уравнения 2p2 + 8p2-f 10=0 получим pi,2=-2±jl, для уравнения p-f-10 000р--+ 9=0 получим ai=-9,0000009-10-, 02=-9999,999 с невязками Л(а1)=0, Л (ог) =-0,999999, для уравнения р2+100 OOOp-f 9 = 0 - корни ai=-910- 02 = -100 000 с невязками Л(а1)=0 и Л(а2)=9.

Решение алгебраического уравнения третьей степени p+OjP-f aip+ao=0 с использованием формул Кардано [4] сводится к предварительным вычислениям коэффициентов r==ai/3-(аг/З) s= ((01-2(02/3)2)02/3-ао)/2, Q=r + s. Если Q>0, то решение содержит пару комплексно-сопряженных корней

а, =Л-fB-02/З; р2,з=-((Л +В)/2-fо/З)±j(Л-В)УЗ/2,

где . Если Q = О, то корни веществен-

ные, причем два из них образуют кратный корень: Oj = 2Л - О2/З; 2,3 - - Os/3, но если Q<0, то все корни вещественные и различные:

Oi = 2У-г cos(a/3); = -2V-г со5(а/3±2я/3), где a=arccos (s/Y-r).

Программа 120. Вычисление корней уравнения p + a2p2-l-Oip+ao=0 с использованием формул Кардано

ИП1 3 4 ИП2 3 4 ПЗ х2 - П7 ИП1 ИПЗ х2 2 X - ИПЗ X ИПО - 2 -f- П8 х2 ИП7 t х2 X ПД 4-С/П х>0 72 у ИП8 + П9 х 3 1/х

ХУ ИП9 ~ ПА ИП7 /-/ ИПА н-ПВ + ПС /-/ 2 4 ИПЗ - t ИПС ИПЗ - С/П ИПА ИПВ - 3 / X 2

С/П ИП8 ИПД /-/ / ~ C0S-1 2 л X + П4 3 - cos ИП7 /-/ / 2 X X ИПЗ - С/П ИП4 БП 78

Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в положение Р; (ав = РО, at=Pl, as=P2) В/О С/П (/«10 с) РХ = Q; если Q>0, то С/П (/<« »12 с) РХ = Oj, PY = Rep2 3 С/П (/«.3 с) РХ = Imp 3; если Q = О, то С/П (/«12 с) РХ =ai 2, PY = a3; если Q<0, то С/П (/«Юс) РХ = Oj С/П (/;«8 с) РХ = Оа С/П (/«=8 с) РХ = Gj. При использовании П/VIK с входным языком ЯМК52 для повышения точности определения вида корней целесообразно перед первым оператором С/П ввести фрагмент 1 + 1 -, соответственно изменив адреса переходов.

Пример. Для уравнения р--4р*-1-5р+2=0 получим oi=-1,9999994, 02 = = - 1,0005085, 03 = 0,999491; для p+p+p+lO получим а, = -1, р2.з = = M0-*±j0,99999995«±j; для рЗ--6р»+11р-1-6=0 получим ai=3,000000U 02=-1,9999999, аз=-0,99999999; для рН 1,58-10бр»--83,25р-2,24-10-=0 по-лучим 0, =-1 580 000, 02 = -7-10-2, аз=1,М0-.

Таким образом, при несоизмеримых коэффициентах уравнения использование формул Кардано не обеспечивает точного вычисления корней, н в этих случаях целесообразно искать корни уравнений, расщепленных в соответствии с неравенством (3.18). Решение уравнений степени п=4 сводится к решению-уравнений низших степеней [4], ио корни уравнений с многочленами степени л>4 можно найти лишь численными методами. Прн этом целесообразно вначале найти вещественные корни ai исходного уравнения, а затем решать уравнение низшей четной степени Л (р)/Я(р-Oi) =0.

В большинстве численных методов поиск вещественных корней разбивается на определение интервалов нахождения отдельных корней (отделение корней) н сужение этих интервалов (уточнение корней) до величин, определяемых требуемой или достижимой точностью. Для отделения корней можно вычислить значения Л (а) с шагом До и найти приближенно отрезки вещественной оси, в которых находятся корни, с помощью программ 4-12. Важное значение имеег выбор шага, так как выбор малого шага связан со значительными затратами времени, а при большом шаге возможны пропуски интервалов корней. Следует также учитывать, что вблизи вещественных корней четной кратности функция А{а) ие изменяется по знаку. Так, функция Л(а)=а*+2а+1 положительна на всей вещественной оси, кроме точки ai,2=-1.

Для уточнения вещественных корней нечетной кратности применимы все методы решения нелинейных уравнеинн, рассмотренные в следующей главе, но наиболее удобны простейшие методы с гарантированной сходимостью и достаточно простой программной реализацией. К ним относится равномерный поиск

с вычислением Л (а) с шагом Д до изменения знака функции, после чего принимают Д = -Д/а, где делитель шага а>1. Прн достижении требуемой точности абсолютная погрешность корня равна текущему значению уменьшенного шага, но эта точность не всегда достижима. Например, корень ai=-1 580 000 многочлена 1,58-10/?+83,25р-2,25-10-3 может быть определен лишь с точностью Д!1, так как при дальнейшем делении шага он попадает в область машинного нуля (прн вычислениях с восьмью разрядами мантиссы) и не изменяет величины вычисленного корня ai.

Программа 121. Отделение и уточнение вешественных корней нормированных многочленов Л (р) степени п:11 (л 12 для ЯМК52)

t t ИПА + X ИП9 + X ИП8 +

X ИП7 + X ИП6 + X ИП5 + X ИП4 4- X ИПЗ + X ИП2 + X ИП1 -f X ИПВ + ИПС ПС X хфО 54 х<0 48 ИПД а ,- ПД ИПД

+ L0 00 ИПС С/П С/П БП 00

Инструкция. Заменить в программе символ а оператором набора делителя 9а>1; для ЯМК52 при л =12 перед оператором ИПА записать фрагмент ИПЕ -Ь X (с занесением перед пуском программы в регистр Е коэффициента ац) и изменить адреса 54 и 48 переходов соответственно на 57 н 51 (ао = РВ, ai = Pl, а2 = Р2, аз = РЗ, aio=PA), число шагов п=РО, число, сов-падаюшее по знаку, нли Л(ао)=РС, начальное значение шага До=РД, граница интервала оо=РХ В/О С/П РХ=Л(ап) илн РХ=0 (корень найден точно и для его вызова нажать клавишу --<-); ввести щ - РО нажатием клавиш F и /-/ (оператор -»-), ввести в регистр РХ текущее значение a„+i, нажать клавишу С/П РХ = а„+, С/П РХ=Л(а„+„)...

Прн а=2 уточнение корней называют половинным делением (дихотомией). Если Ж11, то программу 121 целесообразно упростить, устранив фрагменты nnN + X, соответствующие отсутствующим коэффициентам, и прн необходимости использовав освободившиеся регистры для получения дополнительной информации.

Программа 122. Отделение и уточнение вещественных корней нормированного уравнения (0?=!) степени п = 7

t t ИП6 + ИП5 + X ИП4 -f

X ИПЗ 4- X ИП2 4-Х ИП1 + X ИПВ 4 ИПС ПС X х<0 34 ИПД

/- 9 ~ ПД П8 ИПД 4- П9 L0

00 ИПС С/П ИП9 БП 00

Инструкция. (ао = РВ, ai = Pl, а2 = Р2..... аб=Р6), число шагов л = Р0,

число, совпадающее по знаку, или Л(ао)=РС, До=РД, ао=РХ В/О С/П РХ= =Л(а„), Р8 = ап, Р9=ап+ь РД=Дп, п, = Р0 С/П РХ = РС=Л (а„+„,).

В качестве примера рассмотрим поиск вещественных корней многочлена Л(р)=р-ь9рб+36р=--80р+103р-1-95р»+68р4-24. После ввода исходных данных (24 = РВ. 68 = Р1, 95=Р2, 103=РЗ. 80=Р4, 36 = Р5, 9=Р6) и определения по формуле (3.18) нижней границы вещественных корней 0о=-4, выпол-