няем: 1 = Р0, -4 = РХ В/О С/П РХ=Л(оо) = -1224 (/«11 с); До = 0,4 = РД, 10=РО С/П РХ = Л(а„)=-2,530645; Р9 = ап=-3,0074071; 10 = Р0 СП РХ = =Л (021 )=-0,03035; Р9 = -3,000091. Проверяем корень: -3 = РХ В/О С/П рХ = /1(-3)=0. Для поиска остальных вещественных корней принимаем -2,8 = РХ В/О С/П РХ = Л(-2,8) = 1,96; Д=0,4 = РД С/П РХ = Л(-2,4) = = 26,58 С/П РХ=Л(-2)=33,07 С/П РХ=Л(-1,6) =20 С/П РХ=Л(-1,2) = = 7,46 С/П РХ = Л(-0,8) =0,785 С/П РХ = Л (-0,4) =7,12 С/П РХ = Л(0)=24. Следовательно, возможен кратный корень в интервале (-1,2; -0,8). Выполнив поиск в этом интервале с меньшим шагом и проверив невязки, находим корни 02,3 = - ! с невязкой А{-1)-0.

Численные методы могут обеспечить поиск корней многочленов с различающимися по порядку коэффициентами, если при очередном делении шага он не попадает в область машинного нуля относительно вычисляемого корня.

Программа 123. Отделение и уточнение корней нормированного (аз=1) многочлена А(р) степени п = 3

t t ИП2 -fx ИП1 -f X ИПВ +

ИПС ПС X х<0 22 ИПД /-/ 2

ПД П9 ИПД + П8 L0 00 ИПС

С/П ИП8 БП 00

Инструкция. (ао = РВ, ai = Pl, а2 = Р2) п = РО, Л(ао)=РС, До=РД, 0„ = РХ В/О С/П РХ = РС = Л(а„), Р9 = а„, РД = Л„, п, = РО С/П РХ = РС = = А{ап+п), Р9 = ап+п, РД = Д„ „ ... Время выполнения одного шага около 7 с.

Пример. Для многочлена A(p)=p3+l,58-Wp+83,25p-2,2i-l0- прн {-2,24 10-3 = РВ; 83,25 = Р1; 1,58-10б = Р2) 1 = Р0, ао=0,001 В/О С/П РХ = =Л(оо) = 1,66101. Гак как невязка Л(0)=ао-<0, то вещественный корень находится в интервале (0; 0,001). Приняв До=0,0001, ао=0 за четыре выполнения программы по 10 шагов находим корень ai = 7,2299016-10- с абсолютной погрешностью Д3,752529-10-" и невязкой Л(а1) =6-10-». Аналогично находим 02 = -7,2299015-10- с невязкой Л(Ог) = -1 • 10-». Но третий корень, как показано ранее, удается найти лишь с погрешностью Д1, так как прн меньшем шаге он попадает в область машинного нуля относительно аз=-15 800 000.

Для поиска корней многочлена четвертой степени (после выделения, в частности, вещественных корней многочленов более высокой степени) целесообразно использовать предложенный в [15] алгоритм, обеспечивающий разложение Многочлена на множители второй степени.

Программа 124. Вычисление корней многочлена р+азр+агр+ахр+ао

Инструкция. (а„ = РО, а, = Р1, а2 = Р2, аз=РЗ) 2(l + a"mar) =РХ В/О СП PX=ai, PY = a2 или РХ = ЕГГОГ (пара комплексно-сопряженных корней) С/П PX = Repi,2, PY = Impi,2; для вычисления второй пары корней нажать клавишу С/П с аналогичным продолжением; время счета зависит от ширины 2(1-Ь o"mai) начального интервала, определяемого формулами (3.16).

Пример. Для /1(р) =р*--9рз--31р2+59р--б0=0 прн 122 = РА получим pi ,2 = = -l±jl,99999999« -I±j2 (/«6 мни) и аз=-3, 04=-4 (/»10 с).

Используя алгоритм, реализованный в программе 124, удается автоматизировать выделение квадратичного множителя многочлена А{р) шестой степени.

Программа 125. Выделение квадратичного множителя р2 + 6,р-Ьбо многочлена А{р) -p+a5p+a,p*+a3P + a2p+aiP+ao

Сх ПД ИПД t t ИП5 - X ИП4 + X ИПЗ - П8 X ИП2 + П7 X ИП1 - П6 3 X ИП5 - ПВ ИП5 -

X ИП4 + П9 X ИПЗ + П8 ИП9 ИПВ X - ПС ИП6 X ИПВ х2 ИПО X + ИПВ ИП7 X ИП6 - ИПВ X ИПС ИП8 X + хО 93 ПС t ИПВ X ИП8 -

X ИП6 + у<0 79 ИПД ИПА - ПД ИПА 2 ПА ИПД + ПД Вх - х=0 02

ИПС ИПД С/П ИПВ БП 73

Инструкция. (а„ = РО, ai = Pl..... а5=Р5)2(1-Ь la"max) =РА В/О С/П

РХ=Й1, PY=6o. Время счета зависит от ширины начального интервала.

Пример. Для /1(р) =рб + 5р5--4р--Зрз+2р2+р+0,5 прн 18=РА получим коэффициенты квадратичного множителя 5(р) =р2-0,48834684p-f-0,42211151 н множитель четвертой степени Л (р)/5(р) =р<-Ь5,4883468рз + 6,2581053р2 + -1-3,7394315р-1-1,1845213 = 0 (/«14 мии).

Таким образом с помощью приведенных программ можно находить корни многочленов степени п6+п„, где Пд-число вещественных корней. Для уравнений четной степени п>6 целесообразно использовать методы численной оптимизации, рассмотренные в следующей главе.

3.5. Анализ линейной цепи в частотной области

Задача анализа линейной цепи в частотной области заключается в определении ее стационарных реакций

x(jo)) = f (jo))<?(jo)), (3.20)

где переменные реакции х{\ы) и воздействия (?(]й))-комплексные амплитуды, а частотные характеристики f{i(o) равны функциями цепи F{p) при p=ju).

Если цепь замещена проходным четырехполюсником с комплексными параметрами, являющимися функциями j(o, то ее анализ на заданной частоте ю можно свести к решению системы уравнений

Re ti„+j Im uij, Re u),2 4 j Im ш,2"

Re ti2i +j Im UI21 Re ti22 +jtn [««гг

с нормированными переменными воздействий q\ = l и (?2 = 0.

Программа 126. Решение системы из двух линейных уравнений с комплексными коэффициентами при qi = l, </2 = 0.

ИП7 ИПО X

- ИПб ИП2 ИПО X +

- П6 х2 ИПО ИПб X ИПб X + ИПб X - ИПб X +

ИП4 ИП9

ИП2 х2

- ИПВ ИПВ

/-/ ИПВ

/-/ ипв

- ИП4 ИП7 ИПА

- ИПб + ПВ ИПА

ИПО ИПО С/П ИП2 ИПО ИП1 ИП9 С/П

ИП1 X X ИПВ ИП1 X ИП9 X X ИПА X ИП1 X ИП2

Инструкция. {Rewu = Р7, Ттшц = Р8, Rew. Р4, lml.•,. = Р5, Reaii =- PI, Imwi = Р2, Reffi)22 = РО, Imaijj = PA) В/О С/П (/«=16 с) РЛ = Rexi, PY = = Imx, С/П (tx6 с) РХ = Re.\;j, PY = 1тлг.,.

Пример. Для системы уравнений

получим A;i=l-i-jO; л;2=2+]0.

Если требуется найти реакцию xi при qi¥\, то достаточно вычислить по программе 126 значения реакций xl и хи, а затем определить Xi=x-iq, и X2 = x2qi. При 92т0 следует дважды выполнить программу 126, изменив положение строк системы уравнений перед повторением программы, и найти искомый результат наложением результатов выполнения программы.

При (t>2 емкость памяти ПМК используемых типов не обеспечивает одновременного хранения вещественных и мнимых составляющих коэффициентов систем уравнений, и в этом случае приходится использовать вычислительный бланк для регистрации промежуточных результатов. Для составления программы, как и прн решении систем уравнений с вещественными коэффициентами, целесообразно использовать метод Жордана с расщеплением каждой i-й строки частей вычислительного бланка (табл. З.б) на две строки с записью вещественных и мнимых составляющих коэффициентов уравнений, свободных членов и элементов контрольного столбца. Например, система уравнений

"l+i2 2 + j3 3 + ]4 б + ]4 6 + ]б 7

должна быть записана в нулевую часть бланка, как показано в табл. 3.4, Вычисление элементов uij.j"* каждой очередной р-й части бланка по элементам а»/~ предыдущей (р-1)-й части бланка обеспечивается следующей программой.

Программа 127. Решение системы из пб линейных уравнений с комплексными коэффициентами методом Жордана с циклической перестановкой строк