П (ao;P + Po;P + Yo) = -- (3.28)

П (ап;Р + Р„;Р + 7п;) 1= 1

Для упрощения вычислений будем рассматривать функцию (3.28) с простыми вещественными Pni = Oni или комплексно-сопряженными полюсами р., i+i = = 0; ,+i±j(o,, i+i, учитывая, что кратные полюсы можно представить достаточно близко расположенными простыми полюсами. В этом случае при /i<m такую функцию можно представить разложением иа простые дроби:

*(р)= 2 Di/{p-p„i), 1= 1

где коэффициенты (вычеты в простых полюсах) Д= (р-pn.)jc(p) р=р .= =Л(р)/й-(р).

Оригиналом функции (3.28) является временная характеристика

m S .

л (t) =. 2 е"-!* = 2 (Aj cos io„j t+Bj sin t) eny =

= 2 C,<:os((0ny/+9)eV, (3.29)

где s -сумма чисел вещественных полюсов ((Оп,=0) и пар комплексно-сопряженных полюсов.

Для вещественных полюсов (и)п/ = 0) ф,=В,=0, Л, = Су=Д-, а для /-Й пары комплексно-сопряженных полюсов коэффициенты А комплексно-сопряжены, /lj = 2ReOi, Sj=-2ImDi, Cj=2Di, ф = агдО,-, где D,- определен для (Onj>0,

Программа 147. Вычисление коэффициентов временных характеристик x(t) по функции х(р) с п-Цт и простыми полюсами

Инструкция. (п = РА, га = РВ), для каждого полюса выполнить аш = = РС, ш„; = РД, а„ = РХ В/О С/П а„-1=РХ С/П..,ао=РХ С/П Ьт = РХ С/П Ь„. .1 = РХ С/П .., Ьо = РХ С/П РХ = Р1=Л/, PY=B/ (для вычисления РХ=Р1 = НеД, PY=iP2 = IniA в программе следует исключить фрагмент ИПД JC0 82 -*-2 -f-f-> между операторами -f по адресу 74 и П5 по адресу 83).

Пример. Для полюса pni=-0,4-(-jl,2 функции х(р) = {90p+l88p+2l6p + +40)/(10р«-(-ЗЗрз + 36р2--40р) получим Ai = 3, В, =-2,3333333 или (прн устранении указанного в инструкции фрагмента) Dt = l,5-jl,6666666.

Если функция (3.28) задана отношением произведений квадратичных множителей, то вычисление оригинала x{t) несколько упрошается [151.

Программа 148. Вычисление полюсов и коэффициентов временных характеристик функции х{р), представленной отношением произведений квадратичных множителей

ИП9 ИП7 ХфО 21 X О ПА ИП8 2 4-- ПС х» - V ПВ ИП7 4- ПД БП 29 ПВ ПД ИП9 ИП8 ПА 4- - ПС ИП5 П2 ПО С/П ИПО ХфО 32 ИПС ИП7 X t ИП8 4- Пб + ИПД X П1 ИПб ИПС X ИПД х2 ИП7 X - ИПО + Пб ИПА X ИПВ ИП1 X - ИПА ИП1 X ИПВ ИПб X + ПВ ПА L0 32 ИП2 хО 32 ИПВ /-/ ИПА х2 ИПВ х2 + ПВ ИПА Вх

4- ПА Сх П2 ИП4 БП 31

Инструкция, (г = Р4, S - 1 = Р5) ani=P7, Pni = Р8, 7ni = Р9 В/О С/П Оп2 = Р7, Рп2 = Р8, 7п2 = Р9 С/П ... ans = Р7, Pns = Р8. 7ns = P. С/П а»! = = Р7, Ро1 = Р8, Vol = Р9 С/П ... «ог = Р7, Рол = Р8. Уог = Р9 (для миогополюсной функции коэффициенты числителя не вводить) С/П РА = Aj, PB = Si, PC = = Oni, РД = й)п1; повторить вычисления при вводе первыми коэффициентов каждого из остальных множителей знаменателя.

Пример. Для функции л:(р) = 1/р(р + 1) (р» + 0,б18р + 1) (р + 1,б18р + 1) выполняем: О = Р4, 3 = Р5, О = Р7 = Р9, 1 = Р8 В/О С/П 1 = Р9 С/П 1 = Р7, 0,618 =Р8 С/П 1,618 = Р8 С/П РА= 1; РВ=РС = РД = 0 В/О С/П 0,618 = Р8 С/П 0=Р7, 1 =Р8 С/П О = Р9 С/П РА = -1,9888133-10-*, РВ = 2,7525319, PC = -0,809, РД = 0,58780864, О = Р7, 1 = Р8=Р9 В/О С/П О = Р9 С/П 1 = = Р7 = Р9, 0,618 = Р8 С/П 1,618 = Р8 С/П РА =-1,894212, РВ = О, РС = -1. РД = 0, 1 =Р7 = Р9; 0,618 = Р8 С/П 1,618 = Р8 С/П О = Р7 = Р9, 1 = Р8 С/П 1 = Р9С/П РА = 0,89441108, РВ = 3,9958558-10"*, РС = -0,309, РД = = 0,95206203; следовательно, л:(/)=1 - (1,9888133-Ю"* cos 0,58780864/ - -2,7525319sin 0,587808б4/)е-°*""-1,894212е- + (0,89441108cos0,95106203< 4-+ 3,9958558.10" sin0,95106203/)e-°*"" .

Вычисление временных характеристик x(t) по вычисленным корням и коэф-4тцнентам А,- и В, несложно автоматизировать.

Программа 149. Вычисление временных характеристик по значениям полю-<»в функции х(р) и коэффициентов А, и В,

ПД ПС ПВ « ПА ИПД ИПО X

cos X ИПД ИП9 X sin ИПВ X 4- ИПС ИП9 X е X ИП7 4- П7 С/П БП 00

Инструкция. (/ = Р9) 0=Р7, Ai = РТ, = PZ, Ощ = PY, (Ощ = РХ В/О С/П РХ = si(/), = РТ, В., = PZ, Опг = PY, <о„ = РХ С/П РХ = s{t) ... Лг = РТ, Ss = PZ, Ons = PY, (Dns = PX С/П PX = x{t).

Пример. Для исходных данных, вычисленных в примере к предыдущей программе, при /=0,5 получим х-(0,5) =0,70989205,

По этим программам импульсная характеристика с изображением единичного воздействия q{p) - \ вычисляется как оригинал x(p)-F(p), а переходная характеристика-как оригинал х(р) =F(p)/p.

Во многих случаях затраты времени на вычисление временных характеристик уменьшаются при непосредственном интегрировании линейного дифференциального уравнения, описывающего процессы в анализируемой цепи

an -+ а„ 1----f+.,. + a,+ao-t = <7(0, (3-30)

где воздействие q(t) в зависимости от физических условий задачи также может содержать производные от q по времени.

Если исследуются лишь свободные колебания прн q{t)=0, то для решения такого однородного дифференциального уравнения составляют характеристическое уравнение

an р" + ап-1 р"- Ч .. +01 p-f 00 = 0 с решением

xiDD.e-i, (•= 1

где Рп, - корни характеристического уравнения, а коэффициенты Д- определяются начальными условиями прн / = 0.

Например, переходные процессы в простейшей цепи, схема которой показана на рнс, 15, после замыкания ключа описываются уравнением

или после умножения на R и дифференцирования u+u/C(R,+r2)=0

с начальным напряжением uo = UcoR2/(Ri + Ri). Так как корень характеристического уравнения pni=-l/CRi + R), то искомая зависимость

«(0 = ("co/?2/(/?,-f2))exp(- C(/?,-f/?2)). Прн указанных на схеме нормированных параметрах и шаге вычислений h = = /,+1-/; = 1 несложно вычислить ы(/)=6, 4,9123843; 4,0219202; 3,2928698; 2,6959738; 2,2072766; „..

Поиск аналитических решений существенно усложняется прн д(1)Ф0, и в этих случаях целесообразно использовать численные методы решения дифференциальных уравнений, среди которых наиболее часто используют методы Рунге - Кутта различного порядка [4, 14]. Простейшим из них является метод Эйлера для решения дифференциального уравнения первого порядка дг=/(/, х) с вы-

числениями по формуле

:с Нг\\ xi+i-=xi + hf{ti, Xi), i = 0,l,2,..., (3.31) Т где постоянный интервал времени /t = /i-/,-i назы-

р jg вают шагом интегрирования.