Программа 150. Решение дифференциального уравнения • = f(t, х) методом Эйлера

. . . ИП7 X ИП9 + П9 ИП7 ИП8 + П8 « С/П БП 00

Инструкция, Заменить многоточие в программе фрагментом вычисления функции /(/, х) при /=Р8, л; = Р9 и использовании регистров памяти, кроме 7, 8 и 9; /г = Р7, /о = Р8, л:о = Р9 ВО СП PX = Xi С/П РХ = л:2 ,.. С/П РХ = = л:, = л:(/„ + 1/г), PY = U + ih.

Пример. Для схемы на рис. 15 при вычислении /(/, х)=-u/CRi + R) по фрагменту ИП9 /-/ ИП4 н- (C/(/?ii~/?2) =5 = Р4) с шагом h=l {to = 0. ыо = 6) получим ы(/) = (6); 4,8; 3,84; 3,072; 2,4576; 1,96608; ... (/*3 с).

Метод Эйлера отличается значительной методической погрешностью (о чем свидетельствует и сравнение результатов, полученных в примере, с аналитиче ским решением), и его используют лишь для грубых расчетов. Для получения более точных результатов используют методы более высокого порядка.

Программа 151. Решение дифференциального уравнения x = [{t, х) усовер шенствованным методом Эйлера-Коши второго порядка

ПП 20 Пб + П9 ИП7 ИП8 + П8 ПП 20 + ИПб + 2 4- П9 СП БП 00 ... ИП7 X ИП9 В/О

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления f{t, х) при /=Р8, л; = Р9 с использованием регистров памяти, кроме 6-9; h = P7, to = P8. Хо = Р9 В/О С/П РХ=л;, СП РХ=л;2 ... С/П PX = Xi, Р\=/,-.

Пример. При исходных данных из примера к программе 150 получим и(0 = (б); 4,92; 4,0344; 3,308208; 2,7127305; 2,224439; ... (/«10 с).

При решении дифференциальных уравнений первого порядка иа ЭВМ высокой производительности обычно используют метод Рунге-Кутта четвертого порядка, обеспечиваюший высокую точность вычислений [4].

Программа 152. Решение дифференциального уравнения x=f{t. х) методом Рунге-Кутта четвертого порядка

Сх П5 ПП 31 ПП 27 -f П5 ПП 31 + П5 ИПО + П9 ПП 27 3 ~ ИПб + Пб П9 С/П БП 00 ИП7 ИП8 П8 ... ИП7 X t ИПб + П9 t t ИПб + Пб В/О

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления /(/, .х) при /==Р8, л; = Р9 и использовании регистров памяти, кроме 5-9; h/2==P7, /о = Р8, л;о = Р9=Р6 В/О С/П РХ = л;, С/П РХ = дг2 ... С/П РХ=дг,-, P8 = /,-.

Пример. При исходных данных из примера к программе 150 получим "(О = (6); 4,9124; 4,0219456; 3,2929009; 2.6960077; 2,2073114; ... (/«27 с).

Решение дифференциальных уравнений более высокого порядка (см. гл. 4) сводят к решению системы уравнений первого порядка [4]. Во многих случаях решение дифференциальных уравнений высокого порядка упрощается при использовании коиечио-разностных схем [15] и при аппроксимации сигналов решетчатыми функциями (см. гл. 6).

5 Зак. 494 129

3.7. Обратная связь и чувствительность

Цепочки причннно-следствениых связей, например Хз = рх1, Xi = \ixi. Xi = = Qq (рис. 16, а), могут образовать замкнутый контур (рнс. 16, б), для которого xi=Qq + px2, X2 = \ixi, откуда

FBx=Xi/q = Q/(l~pii); /„ер=*27--ец(1-рц). (3.32)

Подобный контур реально не существует, если каналы прямой ц и обратной Р передач взаимны, так как в этом случае между х, и Х2 имеется лнщь один обратимый (взаимный) канал и прн Р=0 всегда ц = 0. Однако если хотя бы один из каналов р или ц невзаимен, то образуется контур с однонаправленной передачей энергии, в котором возникает обратная связь, проявляющаяся в зависимости причины X, от ее следствия .Vj.

Если обратная связь приводит к уменьшению Х2, то ее называют отрицательной. Так как X2=F„epq, то отклонения Fnep и дгз, вызванные действующими в контуре факторами уменьшаются, что широко используют для повышения стабильности характеристик радиотехнических устройств. Если обратная связь приводит к увеличению Х2, то ее называют положительной, причем в определенных условиях в контуре возникает самовозбуждение.

Влияние обратной связи, разрываемой при исключении физического элемента цепи с параметром Wg ,иа функцию F-hifa или переменную Xi - Fq определяется коэффициентом влияния

Ai..{Wg) = д = Af.A/AijAo, (3.33)

где верхним индексом ° обозначены величины, соответствующие удалению его элемента цепи прн aig =0 и разрыву соответствующей связи.

Для цепи передачи сигнала (рис. 17, а), определив аналитически или (рассматривая проходной четырехполюсник как «черный ящик») экспериментально Kc/g=«i/e = e/(l-Рп), ii = Ku = U2lui (рнс. 17, б). P=ui/«3 (рнс. 17, в), можно в соответствии с выражением (3,32) составить формулу

= «г/е = / (1 - Рц) = Ки .

Согласно этой формуле для оценки влияния обратной связи часто используют величину 1-Рп, называемую глубиной обратной связи. В частности, обратную связь называют отрицательной прн 1-Рц>1 или Рц<0 н положительной при 1-Pli<l или Р(1>0 независимо от реальных свойств каналов прямой ц и обратной Р передач. Это нередко приводит не только к недоразумениям, но и принципиальным ошибкам, недопустимым прн автоматизации проектирования. Пусть, например, для проходного четырехполюсника с неизвестным внутренним устройством измерено (1 = 10, Р=0,1. В этом случае 1-Рц=0, но вывод о самовозбуждении в исследуемом «черном ящике» окажется неверным, напри-

мер, для трансформатора, к которому (как и взаимному элементу) неприменимо понятие обратной связи.

В качестве менее очевидного примера рассмотрим низкочастотную цепь, эквивалентная схема которой показана на рис. 18, а. с сопротивлениями резисторов п=200 Ом, Г2=10 кОм, Гз = 20 кОм и проводимостями транзистора g„, = 6,M0-2 См, йэк=-9,5-10-5 См, g«3=-6-10-2 См, йкк = ЫО< См. Преобразовав источник сигнала, как показано на рис. 18, б, где gi = l/i = гЪ-Ю-" См, g2=l/2=l-10- См, g3= 1/гз = 5-Ю- См, составим для проходного четырехполюсника матрицу проводимостей.

6,61-10-2 -1,95-10-* -6,01-10-2 2-10-1

При (/„=g3 = 5-10- по программе 96 находим /(tf = H = "2/"i =240,4; Znep = 12506, 503 Ом, Z„x=52,023722 Ом, откуда Ки„ =9/(1-Рц) =Ui/e=gZBx = = 0,26011861 и /([;=U2/e = gZ„ep = 62,5325515.

Для оценки р составим матрицу проводимостей при воздействии выходным напряжением

8kk+8i gK3-§2

эк-g2 8э;-г81 + 8г

2-10-* -6,01-10-2

-1,95-10-« 6,61-10-2

и при ун = 0 (так как проводимость gi учтена в матрице), найдем = Ки = = и,/1/2=2,9500756-10-3, откуда Рм, = 0,70919817 и 1-Рц=0,29508016. Таким образом, если оценивать влияние обратной связи по величине 1-Рц, то придется сделать вывод о том, что обратная связь положительна и при ее устранении (Р = 0) коэффициент передачи напряжения Ки уменьшится.

Для проверки этого вывода разорвем обратную связь через ветвь с проводимостью g2, приняв g2 = 0 (при этом сохранится обратная связь через транзистор, которую нельзя физически устранить), и составим матрицу проводимостей для этого случая