Инструкция. {U[:P\. и., Р2, (Уз РЗ, /„, Р4. Р5) В/О С/П

?Х = РА=г-Л1, РВ--Л.,. PC=ai, РД а.,; для вычислений U ~- РХ С/П РХ- =

Пример- Выбрав на характеристике, приведенной на рис. 21. значения /,„ = -2 мА, (/,=0.1 В, /.,=0,2 мА, и., 0.55 В. (/з=1,05В, получим ai = 10B-Л1--:.5,4365610"- А. В, а., 6.493498, Л., -2,18743-Ю"" А. Результаты вычисления аппроксимированной статической характеристики показаны на рис. 21 штриховой линией.

Качество аппроксимации табулированной функции x(qi) аппроксимирующим выражением l(q) обычно проверяют но абсолютным отклонениям Ai = f(qi) - -x{,qi) и среднему квадратическому отклонению (4.1) для рассматриваемого интервала аргумента.

Программа 168. Вычисление среднего квадратического отклонения Ai и отклонений А(=/((7,)-x{qi) в выбранных узлах

t Сх П5 Пб П7 « П8 КИП5 ...

ИП8 - П4 х ИПб г- Пб ИПб 4- П9 ИП5 ИП4 С П БП 05

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления функдин Uq) при 17 = Р7 с использованием регистров памяти, кроме 4...9; лсо = РУ, <7о = РХ С/П РХ = Р4 = Ао, PY Р5=1, ;е,=РУ; (?i=PX С/П РХ=А,, PY=2...x„ = PY, 7„ = РХ С/П РХ=А,„ PY = n-+-l. Р9=а.

Пример. Для аппроксимации статической характеристики диода, показанной на рис. 20. функцией /=10" (е*°-I) с коэффициентами, соответствуюшими идеальному диоду, при t/o = 0 и it/ = 0.1 для /,=0; 0.001; 0,004; 0.008; 0.02; 0,04; 0.064 соответственно получим Л, = 0, -9.95-10-: -3.7-10--; 8,27-10-3; 0.869; 48.48; 2648.8 и 0=2648, что свидетельствует о весьма грубой аппроксимации; при тех же исходных данных для аппроксимируюшей функции /=1,34-10-Х Х(е-5 - 1) получим соответственно Л,=0; 2,27-10-; -4,23-10-; 7.84-10- -3.29-10-3; -6.78-10-: 8,59-10-*: о = 8.2б-10 « и, следовательно, эта функция достаточно хорошо аппроксимирует характеристику.

4.2. Расчет статических режимов нелинейных цепей

Расчет статических режимов нелинейных цепей в основном сводится к решению нелинейных транспенденгных уравнений или их систем. В связи с ограниченной емкостью запоминающих устройств ПМК и значительными затрата.ми времени иа численное решение нелинейных уравнений при анализе относительно сложных цепей часто приходится прибегать к нормированию переменных и коэффициентов, выбору упрощающих допущений и преобразованию уравнений для уменьшения числа исходных даниых и длины программы. Эти приемы позволяют также уменьшить число уравнений систем нли свести задачу к последо-»атвльному поиску вещественных корней нескольких или даже одного уравнения.

Точность вычисления корней при точном задании исходных ,1анных может достигать Шестн-восьмн верных цифр, но прн их увеличении затраты времени быстро возрастают. Между тем большинство физических величии нельзя изме-

рить с высокой точностью, а аналитические выражения, аппроксимирующие нелинейные зависимости, обычно весьма приближенны. Поэтому при расчете статических режимов нелинейных цепей требуемая точность, как правило, ие пре-выщает I %, большая точность может потребоваться лишь при теоретических расчетах в предположении точного задания исходных данных и функциональных зависимостей.

Решение нелинейных трансцендентных, как н алгебраических, уравнений /(д;)=0 заключается в определении интервала нахождения корней, обычно определяемого условиями задачи, с последующим их отделением н уточнением. Для отделения корней следует построить график невязки f(x) уравнения илн использовать метод равномерного поиска интервала нахождения вещественного корня нечетной кратности с шагом Лд:. Если два очередных значения f(x,-) противоположны по знаку, то корень находится в интервале (xi-i, xi) и для его уточнения следует принять Дд:=-Дх/а, где а>1. Изменение знака и размера шага при каждом изменении знака невязки обеспечивает на каждой итерации сужение интервала корня в а раз и его определение как д:*= (a:,--a:( i)/2 с абсолютной погрешностью Дх/2.

Программа 169. Отделение и уточнение вещественных корней уравнения /(л;)=0 метолом равномерного поиска

ПП 24 ИП6 С/П ИП7 ИП8 + П8 ИП9 - х>0 14 ИП8 С/П ПП 24 х<0 04 ИП8 f ИП7 - БП (УЛ ... ИП6 П6 X В/О

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления f(x) прн дг=Р8 и использовании регистров, кроме 6...9; Дд:=Р7, нижняя граница интервала корней Хо = Р8, верхняя граница Хгалх.=Р9 В/О С/П РХ=/(д:о) С/П РХ = х,-Дх, Р¥ = Р8=л:, С/П PX=Xi i, РУ=х, ,+Дх... С/П PX=x>JCmax; для уточнения кория Дд:=-Дх/а = Р7 С/П PX=jfi i, PY=P8=Ari после каждого выполнения программы.

Пример. Определить напряжение соответствующее точке пересечения падающего участка статической характеристики туннельного диода (4.4) с .4i =5,4-10-2, /12=2,2-10-», ai=10, а2=6,5 с нагрузочной прямой источника напряжения £=5 В с сопротивлением R = 5 кОм. Если нагрузочная прямая источника пересекает падающий участок характеристики, то точка пересечения будет соответствовать среднему по величине корню уравнения RI(U)-£ = 0.

Разместив исходные данные (/? = Р0, Л = Р1, Аг-РЧ., а, = РЗ, а2 = Р4, £ = Р5 = Р9) и заменив многоточие в программе 169 фрагментом ИП8 ИП4 X е» 1 - ИП7 X ИП8 /-/ ИПЗ X е» ИП1 X ИП8 X + ИПЭ X ИП5 -, при Л(; = 0.05 = Р7; 6(.=0 = Р8 выполним В/О С/П (f==15 с) РХ=/(Уо)=-5 С/П (/=15 с) РХ = 0, PY=0,05 (интервал первого корня) С/П (/«80 с) РХ=0,25, PY=0,3 (интервал второго корня) С/П (/=96 с) РХ = 0,9; 0,95 (интерв?" третьего корня). Для уточнения среднего корня Д(/=0,005, (Уо = Э,25=Р8 В/О С/П PX = f((/о) =0,5856 С/П (/=40 с) РХ=0,265, PY=0,27, Д[/=-0,0005=Р7, С/П (/ = 40 с) РХ=0,2685, PY=0,268. Следовательно, за три итерации получено искомое значение напряжения [/* = 06825±0,0Э025 с тремя верными цифрами и относительной погрешностью Л = 0,09 %.

Если корни отделены илн интервал отдельного корня известен из физических условий задачи, то поиск корня с требуемой точностью можно полностьк) автоматизировать с помощью метода половинного деления (дихотомии), практически совпадающего с уточнением кория методом равномерного поиска при а = 2. Метод половинного деления заключается в делении на каждой итерации интервала корня иа две равные части с выбором в качестве сокращенного интервала корня той части, на границах которой невязки уравнения противоположны по знаку. Программные реализации метода половинного деления в основном различаются выбором критерия автоматического прекращения вычислений при достижении требуемой точности. Простейший из них заключается в прекращении вычислений после заданного числа п-итерацнй. При заданной предельной абсолютной погрешности е и начальном интервале An требуемое число итераций

(1п(До/е))/1п2, но можно продолжать вычисления при задании дополнительного числа итераций.

Программа 170. Вычисление корня лс* уравнения /(лс)=0 методом половинного деления с заданным числом п итераций

L0 04 ИП8 СП ИП7 2 П7 ИП8 f-Ш ... ИП9 П9 < х<0 00 ИП7 -П7 БП 00

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления /(л при jf=P8 и использовании регистров, кроме 7, 8 и 9; Дх=Р7; нижняя (если Ахо 0)

граница интервала Хо=Р8. 0 = Р9. /г = РО БП 1 I С/П РХ=Р8 = х*, Р7=Лх*. Р9 = /(х*); для продолжения уточнения корня nj = PO С/П РХ = х*, Р7 = Ла*. P9 = f{x*).

Пример. Найти напряжение иа полупроводниковом диоде с характеристикой l{U)-[o (efJ-1), подключенном к источнику напряжения Е через сопротивление R. Задача сводится к решению уравнения Е-RI{U)-1/ = 0 или после перехода к логарифмическим функциям 1п((£-С/) ?/о+1) -.\(У = 0. Пусть /о= 1,34-10-3 А, Л = 6.5 в-, /? = 250 Ом. £ = 5 В. Раз.местив исходные данные в памяти (.\=Р1, /? = Р2, £=РЗ, /о=Р4) и заменив многоточие в программе \7с фрагментом ИПЗ и ИП8 - ИП2 4- ИП4 I + In ИП1 ИП8 X -, при Д6 = 5. fo = 0 и п=\0 получим (/«I мин 40 с) t/* =0,41992788 с предельной погрешностью At/* = -9,765625-10-3 „ невязкой /(С*) =-4,35599-10 2. Приняв 5 = Р0 С/П, получим (/«40 с) t;* = 0,4l351319, At/* =-3,0517577-10/(С/*) =-6,003-10 и, приняв 6 = Р0 С/П, получим (/«50 с) t/* =0,41342258, At/* = 4,7683712-10 \ f{U*)=~6,9-\0

В качестве критерия автоматического прекращения вычислений можно выбрать число ш верных цифр в значении корня с помощью фрагмента ВП S + Вх -, где 5 = 8-m [15, соответственно изменив программу.

Программа 171. Вычисление корня х уравнения f(x)=0 методом половинного деления с заданным числом т верных цифр

ИП7 ИП8 t t ВП S + Вх - ИП8 П8 - X -О 17 ИП8 СП... ИП9

П9 у х<0 00 ИП7 - 2 П7 В О

Инструкция. Заменить многоточие в программе фрагментом вычисления f{x) при х = Р8 и использовании регистров, кроме 7, 8 и 9, симво." S - опе-