Программа 174. Расчет статического режима цепи иа биполярных транзисторах с общим коллектором и общим эмиттером

Инструкция. {Е = РО, Л-Р1, f--P2, G=P3. Н=Р4, Л1 = Р5, = = Р6, Л--.РА, S -РВ. С = РС, D -~РД) В/О С/П РХ-=(У<з С/ПРХ-=(У<2> С/П P.4 = 6!j... С/П РХ - (Уз (/18 с); прекратить итерации после достижения требуемого числа совпадающих цифр в двух очередных результатах; БП 7 7 С/П РХ=Р8=.=(/,; PY=P7 (У,.

Пример. Д.1Я Л;-=2.10 А, -10" А, a,=0,98, а, =0,8, А1 = = 10- А, л;-.2-10" А, -0.95, а", -0,8, Л=39В~, /?i = 2 МОм, /?.2 =20 кОм, /?з кОм, Е-бВ, вычислив F=1,25-=P2, G = 0,468 =РЗ; = 5,128051-10- =Р4, Л1.-=0,08 .= Р5; <V=0,4=P6, Л = 7,5-Ю"" = РА, S = = 2 • 10-=РВ, С = 4,75 ---- PC, D =1 ,б - 10"= РД при 10 итерациях получим (У!/> =2,5; 3,75; 3,125; 2,8125; 2,65625 ; 2,734375; 2,6953125; 2,6757813; 2,6660157; 2,6611329 (корень найдем с тремя верными цифрами (У, = 2,66 В), (/.,-0,1412115 В, (У, = 0,2561444 В; при необходимости вычислим также

==(£ - (/,) ?,= 4,86 - Ю* А, /2 -= (У.. ?.,-- 1 ,4 • Ю-" А, = (£- - (Уз) ?з---3,67 . 10- А.

В программе 174 для устранения переполнения при аргументе экспонент л->1001п10 использован фрагмент, следующий за оператором С/П и отличающийся от использованного в предыдущей программе.

Рассмотренные методы отделения и уточнения корней нелинейных уравнений отличаются гарантированной, но медленной сходимостью результатов вычислений на каждой итерации к искомому корню. Поэтому во многих случаях целесообразно использовать методы уточнения корней с более быстрой сходимостью. Простейшим из них является метод простых итераций, заключающийся в представлении уравнения f{x)=0 уравнением х=ц>(х), выбором начального приближения корня лго и последующим его уточнением по формуле л:,-+1 = ф(л:) (i=0, 1, 2, ...) до получения требуемой точности, определяемой предельной абсолютной погрешностью x,-+i-л-,-е, где е - заданная допустимая абсолютная ! погрешность. Метод простых итераций, легко реализуемый на входных языках •икрокалькуляторов, сходится при условии <р(х)<1 в интервале (хо, х).

Программа 175. Уточнение корня х* уравнения х=(р(х) методом простых итераций с абсолютной погрешностью е

.. . ИП8 П8 - ИПЭ - х<0 00 ИП8 С/П

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления ф(.1с) при .V =Р8 с использованием регистров, кроме 8 и 9; л:о==Р8, е2=Р9 В/О С/П РХ=л:*.

Пример. Для уравнения x=zqis к условие сходимости выполняется при хфО и л:=1, и приняв л:о = 0,5, е=1-10-\ получим л:* = 0,74182654 (/«45 с).

К сожалению, условия сходимости не всегда удается определить по исходным данным, а приходится проверять в процессе вычислений по сходимости результатов вычислений после очередных итераций. В качестве иллюстрации определим методом простых итераций напряжение на полупроводниковом диоде с характеристикой / =/о(ехр(Л(/) - 1) при его подключении к источнику напряжения Е через сопротивление R.

Напряжения и токи в рассматриваемой цепи связаны уравнением Е= - RI{U)+U (где I{U) - статическая характеристика диода) или £ = /?/ + + (1/Л)1п((/--/о) о). Решив это уравнение относительно тока /, получим также и = Е-tR. Рассматриваемое уравнение при обозначении / = А= {E-\-\nIolA)IR. B=AIAR, lo=a можно представить в общей форме х=А+В1п(х+а), к которой сводятся многие уравнения, отображающие процессы в цепях с полупроводниковыми приборами. Продифференцировав правую часть уравнения, получим условие сходимости для метода простых итераций .ic+a >• S, для выполнения которого должна быть определена величина х. В рассматриваемой задаче это условие соответствует неравенству />-1/Л/?-h н, следовательно, метод простых итераций применим лишь прн £>Emin, гае напряжение Emm соответствует предельному значению тока /т1п=1/ЛУ?-/о-

Однако этот метод можно применить н прн ЖЯтш, если представить исходное уравнение обратным преобразованием /=/о(ехр(Л(Я-IR))-1), когда сходимость обеспечивается при Я<Ятт. Следовательно, для решения рассматриваемой задачи приходится составлять программу из двух частей, соответствующих условиям £>£min н £<£min, и выбрать нужную часть по результатам вычислений.

Программа 176. Расчет статического режима днода методом простых итераций

ИПЗ ИП2 ~ П7 ИПО -f ИП1 - П8 - С/П БП 00

П8 ИП1 X X С/П БП

- ИПО

ИПО ~ In ИПЗ - П7 ИП2

Инструкция, (/о = РО, Л = Р1, У? = Р2, £=РЗ) L<")=PX В/О С/П (/«5 с) PX = (yi» С/П PX = L(2) .,.; если результаты расходятся, то (УРХ БП 1 7 С/П

(/»5 с) РХ=(;() С/П РХ=(;<2)..,; „осле получения с требуемой точностью (/ = ? вызвать Р7 = /=/д, Р8 = 6д.

Пример. Для /о= 1,34-10-3 А, .\ = = 6,5 В-1, R = 250 Ом £=5 В при С/<"> = = 2,5 получим t/<» = 4,6714359; 4,5839463; 4,5866586; 4,5865738; 4,5865765; 4,5865764; Рис 24 / = 1,8346,305 10-2, Уд = 0,41342361.

Программа 176 может быть использована также и в других случаях, например для вычисления передаточной характеристики низкочастотного двустороннего диодного ограничителя (рис. 24), описываемого системой уравнений

1bx = Rc (11 + 12 + 1з) + Увых.

/, = /„(схр(-Л((7вых)-1); /2 =/о (ехр (Л(/вых)-1); 1з--=вых/Ки, в предположении идентичности характеристик днодов. Можно избежать необходимости решения этой системы, если задаваться значениями (/вых, и для каждого из них с помощью программы 176 вычислить токи h и h. После этого, определив ток /3 и полный ток через сопротивление несложно найти значения (/вх, соответствующие заданным значениям (/вых, и построить по полученным результатам передаточную характеристику (-вых=/(Свх).

Для уточнения корней нелинейных трансцендентных уравнений с помощью ЭВМ высокой производительности обычно используют метод касательных Ньютона, основанный на последовательном вычислении приближений Xi+ix,- -fiXi)/f(Xi) {i-0, 1, 2, ...), где в качестве начального приближения *o выбира ют то граничное значение аргумента в интервале нахождения корня, для которого знаки функции f(x) и ее второй производной f"(x) совпадают. Метод Ньютона сходится, если во всем исходном интервале нахождения корня производные f(x) и f"(x) отличны от нуля и ие изменяются по знаку.

Программа 177. Уточнение кория х уравнения /(л:)=0 методом касательных Ньютона

... П7 ... ИП7 -г ИП8 .н- - ИП8 П8 - х« ИП9 - х<0 00 ИП8 С П

Инструкция. Заменить многоточия соответственно фрагментами вычнс ления f(x) и f(x) при х=Р8 и использовании регистров, кроме 7, 8 и 9; л:о=Р8. заданная абсолютная погрешность е = Р9 В/О С/П РХ=л:*.

В качестве примера рассмотрим задачу определения статического режима полупроводникового диода с характеристикой /=/о(ехр(Л(/)-I), соединенного с источником напряжения Е через сопротивление R. Подобная цепь описывается уравнением Е-/?/о(ехр(Л(-)-1)-(/=0, производные невязки f(U) =

Л/?/оехр(Л(/)-1, /"((У) =-AWoexp(A(/). По условиям задачи корень может находиться в интервале (О, Е), но прн (/ = 0 первая производная равна нулю, и, следовательно, точка U = 0 не должна входить в интервал нахождения корня, в котором в этом случае будут соблюдаться условия сходимости. В качестве начального приближения следует выбрать (/<">=£, так как в этом случае знаки невязки и ее второй производной совпадают. Следовательно, искомый корень может быть найден с помощью программы 177, которая после замены многоточий в базовой программе фрагментами вычисления невязки и ее производной может быть записана в виде следующей рабочей программы.

Программа 178. Расчет статического режима диода методом Ньютона

ИП1 ИП8 X е" ПА ИПО ИП2 X ПВ х ИП1 X 1 -f /-/ П7 ИПЗ ИПА 1 - ИПВ X - ИП8 - ИП7 - ИП8 -ИП8 « П8 - X» ИП9 - х<0 00 ИП8 С/П