27c 371

Рис. 34

раметрами генерируемых колебаний. Составление программ по таким формулам обычно не вызывает затруднений и поэтому здесь не рассматривается. Автоматизация вычислений в этих случаях целесообразна, например, при необходимости оптимизации параметров цепн для получения колебаний заданной формы, когда расчет приходится многократно повторять.

Автогенераторы, процессы в которых моделируются дифференциальными уравнениями второго порядка, часто генерируют автоколебания, близкие по форме к релаксационным. В этом случае для определения параметров генерируемых колебаний приходится решать дифференциальные уравнения второго порядка с нелинейной правой частью. Заменой dx/dt=y, dx/di = dy/dt такие уравнения представляют системой из двух уравнений, для решения которой пригодны рассмотренные ранее базовые программы.

В качестве примера рассмотрим автогенератор на туннельном диоде (рис. 34,а), исходная рабочая точка которого выбрана на падающем участке вольт-амперной характеристики i(u). Аппроксимируя эту характеристику многочленом третьей степени i(u) =ао+а\и-\-а2и+ази, коэффициенты которого определяются ранее рассмотренными методами аппроксимации (с учетом уравнения и = Е-Ид, связывающего напряжения на выводах диода и контура), составим лифференциальное уравнение

i (и) +С (du/dt) -fu ? -f (! /Л) J ud/ = О.

После дифференцирования получим исходное уравнение du , ! du 1 dC(u) du

-+(02Ц = 0,

RC dt с du dt где (Oo = !/KiC; di (u)/c/u = Oi + 2a2 и + Зоз . Для сокращения числа операндов обозначим т = (о„/,

y = (,\Za3RI{\+a,R)\ru,a = ({+aiR) /(w„ RC), Р = 2а2/?/(( Заз/?/(!+0,/?) I), записав уравнение в виде dyldi-a (1 ± ± у) dy/dT+y = Q,

где знаки членов в скобках совпадают со знаком подкоренного выражения для переменной у. Приняв x = dy/dx, представим это уравнение системой из двух дифференциальных уравнений первого порядка

dx/di = -а (I +у±у)х-у; dy/di=x, содержащих всего два коэффициента. Для составления рабочей программы 8Q3bMeM за основу базовую программу 207.

Программа 213. Анализ автоколебаний в LC-генераторе на туннельном диоде

ПП И X П7 ПП !4 -f- П7 КИПб ИП2

П5 ИП1 П4 С/П ИП2 ИП7 X ИП4 + ПЗ

ИП1 ИПВ + ИП1 X ! + ИПА х ИП2

X ИП1 - ИП7 X ИП5 + П2 ИПЗ П1

ИП7 2 В/О

Инструкция. Л/2 = Р7, а = РА, Р = РВ, уо = Р1=Р4, л:о = Р2 = Р5 В/О С/П РХ = у С/П ... С/П PX = P!=P4 = i/i, P6=i (число шагов или число выполнений программы).

Пример. Для /?=0,25 кОм, L = 50 м«Гн, С = 800 пФ, i(u) =30-lOu-f 2u2-)-+Q,8u (напряжение. В; ток, мА); mo = 5W с, -а = -1,5, р = -1,054092, Л/2 = = л/40, л:о = 0, уо = 0,1 (у=1,265и) получим у, =0,0987663; 0,094464806 0,086397439; .... Результаты вычислений отображены в виде графика на рис. 34,6

Распространенным методом исследования автогенераторов, свойства которы> моделируют дифференциальными уравнениями второго порядка, является отобра женне автоколебаний на фазовой плоскости с координатами х и y = dxldt Анализ процессов в такой системе координат позволяет свести исходное нели нейное уравнение вида dxldt-f{х, dxjdt) =0 к уравнению первого порядка dy/dx - -f{x, y)ly при замене dx/dt=y, dxldt= {dy/dx)y.

Для построения фазовых траекторий удобен 6-метод *, согласно которому на каждом (i-fl)-M шаге построения фазовых траекторий элементарный участок рассматривается как дуга окружности с центром в точке хо i+i--в,= =-(л:,--f(Xi, у%)). Задаваясь углом поворота Aq) вокруг этого центра, координаты изображающей точки на (j-fl)-M шаге « (д:,+6,)со5Аф+у,81пАф-6, и г/, + 1«г/1С05Аф-(д:1+6,)51пАф выражают через координаты, вычисленные на предыдущем шаге.

Программа 214. Построение фазовых портретов автогенераторов

cos П4 Вх sin П5 ... t ИП7 + Пб

ИП4 X - ИП8 ИП5 X + П7 ИП4

ИП8 X ИПб ИП5 X - П8 С/П БП 05

Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в нужное положение; заменить многоточие фрагментом вычисления 6(л;, у) прн л; = Р7, у - Р8 с использованием регистров 0...3,9...Д; л:о = Р7, уо = Р8, Аф = РХ В/О С/П РХ = = Р8=у1, PY = P7 = a:, С/П РХ=у2, РУ = л:2 С/П ...

В качестве примера рассмотрим анализ колебаний в автогенераторе, моделируемом уравнением Ван-дер-Поля

dx/dt+e.(l-x) dx/dt + x = 0 или после замены dxfdt = y

* См. Каннигхэм М. Введение в теорию нелинейных систем: Пер. с англ. / Под ред. Е. Б. Пастернака. - М.: Наука, 1974. - 460 с.

Рис. 35

dy/dx== - {x+6{x, у))/у, где 6{л:, у) = = г(\~х)у.

Заменив многоточие в базовой программе 214 фрагментом вычисления функции б, получим рабочую программу, по которой прн f = -2. л:„=0,001, (/0 = 0. Дф = л/24 последо вательно вычисляем (/« 10 с) л:/ = 9,91444-10 9,63692-10 9,12206-Ю"; ...;.;/, =-1,30526Х Х10-*; -2,9289-Ю-*:- 4,92634-Ю-; ... Графическое представление результатов вычислений (рис. 35) показывает, что изображающая точка выходит на предельный цикл практически в течение одного периода, максимальное значение колебаний близко к 2, а их форма существенно отличается от гармонической.

Движение изображающей точки можно развернуть по оси времени, введя приближенное вычисление интервала Л/ прохождения каждого -элементарного участка фазовой траектории по формуле/,-i-i =Л+2(д:,+1-х,)/(1/, j 1+ 1/1) и организовать вывод значений Xl и ti после каждого выполнения программы. Следует быть особенно внимательным при прохождении участков с !/,«0, когда возможна большая операционная погрешность, особенно в случае случайного совпадения ус-ця- избежать которого в подобной ситуации можно, изменив Дф.

Если есть основания полагать, что в установпвп1емся режиме форма колебаний близка к гармонической, то рассмотренные методы анализа применять нецелесообразно в связи со значительными затратами времени. В этих случаях обычно используют квазилинейные методы расчета, основанные на замещении всех нелинейных элементов цепн линейными (относительно мгновенного значения гармонического колебательного процесса) моделями, лараметры которых зависят от амплитуды воздействия. Для дальнейшего анализа применимы программы, рассмотренные в § 4.3,

Для ориентировочного расчета средних параметров квазилинейных цепей, определяемых отношениями амплитуды первой гармоники реакции к амплитуде воздействия (в автогенераторах нм является воздействие, передаваемое на вход по цепн обратной передачи), целесообразно использовать следующую программу, обеспечивающую приемлемую точность прн достаточно гладкой нелинейной характеристике.

Программа 215. Оценка средних параметров нелинейных элементов

П7 « П6 Сх П8 ИП6 ИП7 - ПП 30 ПП 25 /-/ П8 ИП7 ПП 28 ПП 25 3 t ИП7 Ч- С/П ИП7 2 -f- ИП9 +

П8 В/О

Инструкция. Заменить многоточие фрагментом вычисления аппроксимирующей функции x(q) при q = P9 н использовании регистров, кроме 6..,9; по-