Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) ( 76 ) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (76)

где Ev(x) - целая часть с избытком или Ev (л:) = Е +1 для нецелых х п Е\{х) = Е{х) для целых.

Корни передаточной функции вычисляют по формуле

Pft = (l/e)/ (sin (л (0,5-*) n)+j cos (л (0.5 - *) п))

при *=1, 2..... 2п. Отобрав п отрицательных вещественных корней, по формуле

K(p) = \/(p-pi){p-p2) • (Р-Р") определяют передаточную функцию фильтра Баттерворта. Для удобства последующих вычислений при автоматизации расчета такого фильтра целесообразно определять также квадратичные множители знаменателя передаточной функции (up+P/,p4-l, вычисляя а* и Рл для комплексно-сопряженных пар полюсов и ah = 0 и Р), для вещественного полюса.

Характеристический многочлен для фильтра Баттерворта Q(p)=Rp" имеет гг-кратный корень в начале координат. Для вычисления АЧХ согласно формуле (6.1) можно использовать выражение /C(jv) = 1/yi J-ev", а частотную характеристику затухания вычислять по формуле /4(v) = lOlgd 4-еЧ2).

Программа 245. Расчет фильтра Баттерворта

->

П2 ПП

ИП1 ПП 64

-г 1п

Н- П4

- х<0 22

1 П4

КИП4

1 /х ИП7

ПД х2 ПС

2 1/х

П5 л

ИП4 -f- Пб

sin ИПД

/- ПЗ

ИПб cos ИПД

ИПЗ ИПС

2 у ИПС

С/П ИП5

1 0

10" 1 -

V П7

ИП7 X х2

1 +

0 У

С/П ИП8 ИП9 -f

БП 73

Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в положение Р: /4з=Р2, Лп=РУ, v=PX В/О С/П(/яйЗО с) РХ=а,, PY = p,, Р4 = л, Р7 = 8. PA=Re р, 2, PB=Imp, 2 С/П (/«12 с) РХ=аг, PY=P2, PA=Re , РВ = =1трз для вычисления затухания (л=Р4, е=Р7) Av=P9, Vo=PX БП 73

С/П (/6 с) РХ=А (v„) С/П РХ=А (v„-j-Av) ... С/П РХ=А (v„-b(Av).

Пример. Для /1з=20 дБ, /1„ = 1 дБ, v = 2 получим п = 5, 8=0,50884712: множители знаменателя передаточной функции /((р) = 1/(0,76319394р---НО,5399105р+1)(0,76319394р--1,4135303р--1)(0,87360972р--1) и корни р,,2 = = -0,35372431 ±j 1,0886515, рз.4=-0,92606231 ±jO,67282362, Р5 = -1,1446759: для vo=Av = 0,25 получим Л (v) = 1,3028832-10-«; 1,0981918-10-3; 0,062867248; 0,99999991; 5,3293648; ...

2. Фильтры Чебышева отличаются равиоволиовым приближением АЧХ в полосе пропускания и монотонно возрастающим затуханием за ее пределами. Квадрат модуля передаточной характеристики фильтра

/C(jv)P=l/(i+ear2(v)), (6.7)

где Т„{\) - полином Чебышева л-го порядка, вычисление коэффициентов и корней которого можно автоматизировать.

Программа 246. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Чебышева Т„(х) при п>2



ПД 2 П7 П5 - П1 ИП7 2 х П7

1 П8 КИП1 ИП1 х=0 06 ИП7 СП ,-/ ИПД X 4 П6 ИП8 XI ВП 7 +

Вх С/П ИП6 ИП5 4- П7 1 П8 КИП5 ИП5 П4 2 - ПО ИП4 ИПД - ИП8 х

П8 КИП4 КИПО ИПО х=0 44 ИП7 БП 21

Инструкция. п = РХ В/О С/П РХ = а„ С/П РХ = а„ 2 С/П РХ = а„ , ... С/П РХ = 0 {t3n с).

Пример. Г,0 (л:) = 51 гл:»- 1280л:«+1120л:в-400л:< + 50л;2 [.

Программа 247. Выч исление корней Xf, и ординат хтях и x-min экстремумои ±1 многочленов Чебышева Тг,(х) при п>2

П7 Сх П4 1 П8 ПП 14 О ПП 14

ИП8 ,-/ БП 04 ИП4 п X ИП7 4- cos С/П ИП4 2 1/х + П4 В/О

Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в положение Р; п = РХ В/О С/П РХ = 1, РУ = л:тах С/П РХ=0, РУ=л:о, С/П РХ= -1, PY = =x„u„ С/П РХ=0, PY=Xo2 С/П РХ = 1, РУ=Хт„х ... («6 с).

Пример. Для №=10 получим л:тах!=1; 0,80901703; 0,309017; -0,30901703; 0,80901704; -1; .Voi=0,98768835; 0,89100654; 0,70710681;0,45399053; 0,15643457; -0.15643457; -0,45399053; -0,70710676; -0,89100654; -0,98768833; хи, i= -=0,95105655 ; 0,58778526; 0; -0,58778522; -0,95105652.

Коэффициент 8 в формуле (6.7) определяют согласно (6.6), а затухание на частоте Va - по выражению

I К Ы р = 1 /(1 +8 ch (п arch va)).

По заданным значениям Va, Л, и Ап определяют порядок фильтра п = Ev (arc (Кюз/1 /e)/arch vj, (6.8)

а по величинам пне находят полюсы передаточной функции

Pft=±sin (я (k-0,5)/n) sh (arsh (1 /г)/п) +i cos (л (*-0,5)/n) ch (arsh(l /e)/n).

При автоматизации расчета фультра Чебышева целесообразно предусмотреть вычисление квадратичных множителей akp-\-kp+l знаменателя передаточной функции.

Программа 248. Расчет фильтра Чебышева

89 4- t

х2 1

t х» 1

- V

КИП4

ИПЗ 1/х t

Х2 1

- е t

1/Х П9

- П6 2

1/х 1

4- П8 sin

X ПА

1 ПД

cos ИП5 X

ПВ хО

х»

1/х ПС ИПД 2 X

ИП6 ИП7 БП

49 1

10"

/ ПЗ В/О



Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в положение Р; V:, = PO, Д„ = Р1, Д;,=--Р2 В/О С/П РХ = РС = а,, РД = р,, PA=Repi, РВ== = 1трь Р3 = е, Р4=/1 С/П РХ = РС = а2, РУ=РД = Р2, PA = Rep2, PB = Imp2...

Пример. Прн v,,= 1.3, Лп=1 дБ, Дз = 20 дБ получим 8 = 0,5088468, л = 5, ;),= 0,08945813+j0,9901068, p2 = -0,2342044 + jO,6119196, Рз=-0,2894925, Р4 = =-0,2342044-j0,6119196, р5=-0,08945813-j0,9901069 и коэффициенты знаменателя передаточной функции /С(р) = 1/( 1,011823р--0,181017р--1) (2,329386/»*- -1-1.091105р--1) (3,454318р--1).

Частотную характеристику затухания целесообразно вычислять по формуле

I 10 Ig (1+82 cos2 (п arccos v)) при v<l, "I 101g(l-fe2ch2("archv)) при v>l, относительно просто реализуемой на входных языках микрокалькуляторов. Программа 249. Вычисление затухания A(v) фильтра Чебышева

Пб х2 1 - х>0 20 / ИПб 1п ИП7 X е" t 1/х -f 2 - БП 25 ИПб C0S-1 ИП7 X cos ИП8 X х 1 -f Ig 1 Ох СП ИПб ИПО + БП 00

Инструкция. (п = Р7. 8 = Р8, Av = P9) Vo = PX В/О С/П PX=/l(vo) С П PX = /l(vn-l-Av) С/П PX=/4(vo-l-2Av) ... /«8 с при v<l и /«12 с при v>l.

Пример. Для п = 5. 8=0,5088468, Av = 0,25, vo = 0 получим /4(v)=0; 0.91744239; 0,2723998; 0,8112494; 0,99999891; 18,28752, 29,913673, 38,438333; 15.306038; ...

3, Обращенный фильтр Чебышева обеспечивает равиоволиовую аппроксимацию характеристики затухания в полосе задерживания и монотонно возрас-такццее затухание в полосе пропускания. Для такого фильтра

.4 (V)- 10 1g(l-fe2r(vB/v)). (6.9)

При расчете этого фильтра по заданному значению А.,, определяющему мини-via.ibHOe затухание в полосе задерживания, находят коэффициент

8 = l/V,0/0 i. (б. 10

а по допустимому затуханию Дц < 10 Ig (1-f 1 / (8*г (V:<)) j в полосе пропускания определяют требуемый порядок фильтра

п = Ev (arch (1 /8 Kio*n/" i)/arch V3).

После округления значения п до ближайшего большего целого второе из неравенства Дпист<4п и 4зист>4з становится равенством. На практике чаще стремятся обратить в равенство первое отношение, что увеличивает затухание за пределами полосы пропускания. В этом случае при расчете фильтра следует использовать следующий алгоритм: 1) принять п=1; 2) из условия .А„пс1=А„ определить значеиие 8 = ch(/iarchv3)/(10*n/°-1); 3) если Лз iict= = ln(l-f 1/8)<Дя, то принять п=п+\ и перейти к шагу 2, иначе закончить вычисления.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) ( 76 ) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100)