Таблица 6.3. Определение числителей младших дробей Чебышева

Числители двух младших дробей Чебышева

Коэффициенты младших дробей Чебышева

t/,(v)=YtV»-v2 .•.(v)=(Yt+6i)vMvr6t)v

+(x,)v6-(a,+a.2+a3)v-f((x,+a4)v

- vlУгЧ vVi ! 6t6-b a:,=v{ 6.-; vft,,

o(V)=PoV«-P2V«+p4V=-P6, i/7(v)= =(Po+Pllv-(P,+P2+P,)vS+(P3-!-P4-+ P6)V-(P6+P6)V

Po=Y3ao+6:)at. Р1=6зао"-7!!1, P2= =va„+6:,(Xi4 v,a;4 Мз. P3=-=v(x,+ -Мг-УзИз. P4=V3a.r! б.,(Хз V:,a4, Pj=v5(X3+6,a4, P«=vai (определение ait, V*> * M. выше)

Вычисление коэффициентов многочленов t/n(v) по формуле (6.15) можно реализовать программой, выполняемой п-k раз для определения коэффициентов числителя степени п по коэффициентам Ui,{v) и i/»-,(v), учитывая, что многочлены содержат только четные или только нечетные степени аргумента v.

Программа 255. Вычисление коэффициентов числителя дроби Чебышева порядка п13

ИПб ПД 2 X ИПС - Пб ИПб ПС 2 X ИПВ - П5 ИП4 ПВ 2 X ИПА -П4 ИПЗ ПА 2 X ИП9 - ПЗ ИП2 П9 2 X ИП8 - П2 ИП1 П8 2 X ИП7 - П1 ИПО П7 2 X ПО С/П БП 00

Инструкция. Ввести начиная со старших членов коэффициенты t/*(v) в регистры О, 1, 6, а коэффициенты Um-[{v) в регистры 7, 8, С, Д, после /п-го выполнения программы РО=а*+т, Р1=а«-гт-2, P6=a*-i-m-i2 (»16 с).

Пример. При двух полюсах затухания на нормированных частотах Vi=y2 и \2 = У5 для функции i/n(v) из табл. 6.3 получим Vi=3, 6i=2y2; \2=9, бг= = 4}5Г ао = 27+8уТо=52,29822, а, = 12У5+18У2"= 52,28865, 02= 18+13-b8yi"o= = .58,29822, as=8у5 + 10у2"= 32,03067, 04= 10, откуда U»(v) =52,29822v--58,29822v2+10, [/(v) = 104,5868v5-142,6175v3 + 42,0306v. После семи выполнений программы получим коэффициенты многочлена и2(у) == 13387.1 Iv*- -41682,79v»-f49044,37v»-26874,99v«-f6754,849v<-634,5435\2+10.

Для фильтра с одним полюсом затухания вычисление коэффициентов числителя дроби Чебышева, включая и подготовительные операции, можно автоматизировать с помощью одной программы.

Программа 256. Вычисление коэффициентов числителя дроби Чебышева порядка /112 прн одном полюсе затухания

Инструкция, в/о С/П (i«18 с) РХ=0, vi = PX С/П РХ=РО=а,, Р1 = аз С/П РХ = РО=«о, Р1=а2, Р2=а4 С/П ... С/П РХ=РО=ао, Р1 = = 02. Р2 = а4, Р3=аб, Р4 = а8, Р5 = а,о, P6=ai2.

Пример. Для vi = l,2 после шести вычислений коэффициентов получим коэффициенты многочлена Us{v) = 1 n,1033v»-238,2067v»-- 163,4552v<-37,35187у2+ -f 1,44.

В выражение для квадрата модуля передаточной функции входит квадрат числителя дроби Чебышева. Для возведения в квадрат U„{v) степени пЮ следует использовать программу 102.

Расчет затухания фильтра Кауэра в полосе пропускания нецелесообразно, так как в этом случае характеристика затухания заведомо равноволиовая с числом п максимумов. Равиоволновое затухание в полосе задерживания обеспечивают выбором частот полюсов затухания, но равноволиовая аппроксимация затухания в полосе задерживания не всегда оптимальна, а использование подобной методики связано с трудоемкими вычислениями. Поэтому часто задаются расположением полюсов затухания и по расчету АЧХ корректируют координаты полюсов до получения требуемых результатов.

Программа 257. Расчет затухания фильтра Кауэра произвольного порядка с числом k7 полюсов затухания во всем диапазоне частот

ИПА ИПВ ПО 2 X - х" ПД

1 - х>0 44 / + In X ПЭ ПП 68 х« 1 - V + х<0 2Э 1/х х2 V In ИПЭ -f L0 18 е" f 1/х +

2 -г БП 56 cos-« X ПЭ ПП 68 C0S-1 ИПЭ + L0 47 cos ИПС х х" 1 -f Ig 1 О X С/П БП 00 ИПО 1 + ПО КИПО х2 t ИПД 2 X X

ИПД - ИПД - -4- t в/о

Инструкция. Установить переключатель Р-ГРД-Г в положение Р; (п = РА, * = РВ, 8 = РС, v, = Pl, v2=P2, .... v7=P7) v=PX В/О С/П РХ= =(v).

Пример. Для п=9, * = 4, 8=0,2, v[=1.05, v2==I,15, Уз=1,3, V4=1,5, v=2 получим Л (v)=48,022841 (/«75 с).

Расчет фильтров Кауэра с полюсами затухания целесообразно выполнять в следующем порядке: 1) по результатам расчета затухания с помощью про-

граммы 257 определить частоты полюсов затухания, удовлетворяющие предъявляемым к фильтру требованиям; 2) с помощью программы 255 при выбранных значениях v, вычислить коэффициенты числителя дроби Чебышева и определить квадрат модуля К{р); 3) вычислить корни знаменателя передаточной функции, отнеся к ней корни с отрицательными вещественными частями.

6.3. Синтез LC-фильтров

в процессе синтеза С-фильтров (в частности, фильтров-прототипов) по заданной передаточной функции необходимо определить параметры эквивалентного проходного четырехполюсника с реактивными элементами при заданных сопротивлениях Лн нагрузки и Rc источника сигнала. С этой целью по характеристической функции Т{р). определяемой соотношением (6.2), и нормированному коэффициенту передачи напряжения К(р) =0,5уЛв/йс Кц (р) находят Л-матрицу [7 искомого реактивного проходного четырехполюсника

Ац /4,2

(6.16)

VRc. r«

((1/л:(р))ч+Г(р)ч) ({1К(р)ич + Т{р}пч) RcR« .(1/а:(р))„,-Г(р)„, {{\/K(p))4-T{p))R„

где индексами «ч» и -«гнч* обозначены четная и нечетная части соответствующих функций.

По /4-параметрам найденного проходного четырехполюсника определяют проводимости

(6.17)

соответствующие условиям холостого хода или короткого замыкания на другой стороне.

Функция Т{р) в равенстве (6.16) известна для фильтров Баттерворта и Чебышева, а при расчете фильтров других типов ее определяют согласно (6.3). Иногда приходится решать обратную задачу определения функции К(р) по известной функции Т(р), сводящуюся к аналогичным вычислениям, которые можно автоматизировать с помощью программы 103.

В качестве примера определим параметры реактивного четырехполюсника, реализующего функцию К(р) = (0,5p-fl)/(p-l-2p*-t-2p-l-1) при Rc = Rb = 1. С помошью программы 103 находим (р+2р+2р+I) (-р+2р-2р+1) =-р + + 1. (0,5р2-1-1)(0,5р2--1)=0,25р*--р---1. Из соотношения (6.3) следует Q(p)Q(-р)=-р-Ы-(0,25p*-l-p-f 1)=--р«-0,25р*-.-р2. Определив корни

этого многочлена pi.2 = 0, Рз,4,5,6= ±(У7±]3)/4, находим, что один из возможных вариантов многочлена Q(p) =р(р-(-yr-fj3)/4) (р-(-УТ"-j3)/4) =p-f -ьуТ/гр-М. В этом случае Т(р) =Q(p)/М{р) = {р+у7/2р+1)/(0,5р+1) и согласно формуле (6.16)