Лц i4jj

((4+l/7)/2)p2 + l

P ((4-

2p+3p 0,5p2 + i

/7)/2)p2+i

0,5p2fl 0,5p2 + l

rio (6.17) нахо.ш.м r„. „:,= (((4-/77/2)p2+i)/(2pH3p). Кв. xx=P/(( (4-h + l 7)/2)p»+l); r„.„„,= (((4 + 17)/2)p2+l)/(2pH3p), У„ь,х xx = p/( ((4-"-у7)/2)р+1). Так как при Лс«0 и источник напряжения близок к идеальному, то в этом случае K22=V„4(p)/<V,(р) или К22=Лч(P)/jVh4(р) [7], а проводимость К не влияет на передаточную функцию К{р). и для синтеза достаточно характеристического параметра К22. Иногда желательно определить значения остальных характеристических проводимостей синтезируемого реактивного чстырехпо.1Юсника, для чего следует иайти коэффициенты вспомогательного многочлена Q(p), удовлетворяющего уравнению

A(p)Q( -p)-hO(p)/V(-p)=2M(p)M(-p), (6.18)

где М(р) и .V(p) - многочлены числителя и знаменателя реализуемой передаточной функции Д(р).

Минимальная степень многочлена Q{p), равная минимальному числу элементов фильтра без потерь, иа единицу меньще степени многочлена iV{p), а коэффициенты многочлена Q(p) связаны с коэффициентами а, многочлена Л(р) и коэффициентами г, многочлена М{р}М(-Р) системой уравнений

имеющей единственное решение. После определения коэффициентов многочлена Q(p) .1ля синтезируемого фильтра с минимальным числом элементов )i Лн=1 получим

(1 К(р)), (1/К(р))„ч

) .И(р))нч (Q(V) М (р)), после чего искомые параметры несложно определить по (6.17). Так, для рассматриваемого примера, составив матричное уравнение

получим Д(р) = (p/2-f3p/4--l)/(0,5p2-)-l) и матрицу /4-параметров синтезируемого четырехполюсника

-4п -412 (2р» Ь1) (0,5р + 1) 2р Л2, Л22 " .Зр(2р=-}-4) 1 •

По (6.17) находим У„х ,,:, = 1/2р. У.х xi==3p/(8p=-l-4), Увь,х к.,= (2р--l)/(P-f 240

+2р), Увых хх=Зр/(2р2+4). Из возможных схемных реализаций реактивного четырехполюсника с требуемой входной функцией чаще всего используют лестничные цепи (см. рнс. 13). Вычисление параметров таких цепей по коэффициентам а,- числителя и bi знаменателя степени т=п--1 входной функции Квх или 2вх=1/Увх можно автоматизировать.

Программа 258. Вычисление параметров лестничного LC-фильтра по заданной входной функции со степенью числителя « = m-f 111

t 1 -f ПО КИПО КИПО Т t ИПО

ПД - С/П КИПО КИПО X - ИПО

2 + ПО КПО ИПО 2 - хО 33 -V L0 13 ИПД БП 00

Инструкция. ао = Р1, *1 = Р2, а2=РЗ, &з=Р4..... а8 = Р9, Й9=РА, aio=

= РВ, ftn = PC, п+1=РХ, В/О С/П РХ=С, или L, С/П РХ= или Cj ... С/П РХ = Сз нли La... (/ж25 с).

В качестве примера определим параметры лестничной цепи, реализующей фильтр Баттерворта по известной функции входного сопротивления

5.7587708р» -f 31,163439р8 + 41,986389р* + 16,58171 Эр + 1

2р»+16,581719р+41,986389р5 + 31,163439рз+5,758708р Так как у заданной входной функции «<ш, то будем реализовать обратную функцию Увх(р) = I/.Zbx(p). В этом случае первым элементом лестничной цепи будет поперечная емкость С\, вторым - продольная индуктивность и последним - поперечная емкость Сэ. Выполнив программу 258, получим значения параметров Ci = 0,34729633 (0,347), 1,2=0,99999996 (1,000), Сз= 1,5320892 (1,532), /.4=1,8793896 (1,879), С5 = 2,000057 (2,000), 1,6=1,8793896 (1,879), 7 = 1,5320892 (1,532), /.8=1,0091596 (1,000), Св=0,3410926 (0,347), где в скобках даны значения параметров со всеми верными цифрами [16].

Сравнение вычисленных значений со значениями с тремя верными цифрами после запятой свидетельствует о накоплеинн операцнониой погрешности - относительная погрешность возрастает с номером параметра и для Сд достигает 1,2% от значения с тремя верными цифрами после запятой. Для оценки точности полученных результатов восстановим по ним с помощью программы 108 входную функцию фильтра

Vbx(p) =

1,994601 Зр» +16.54231 Зр+41,90157р» + 31,115677р=+5,7546243р ~ 5,7589б2р8 + 31,164373р«+41,987317р«+16,58191р2+1

При использовании параметров с тремя верными цифрами после запятой по программе 108 получим входную функцию

Vbx(P) =

1.9989901р»+16,57396р7 + 41,969461р+31,155893ра+5,7586р ~ 5,7558022р8--31,149317р« + 41,972919р+16,579009р2+1

Воспользовавшись симметрией схемы фильтра, примем Ц=Ц, с7=Сз, /,,= = /,2, C9=Ci, где Ci, Li, Сз и L4 - вычисленные параметры. В этом случае получим

V.x(P) =

2,0000666р»+16,582235р+41,98752p5 + 31.163949рЗ+5,758828р ~ 5,7589626p8 + 31,16437p + 41,987317p* +16,58191 p2 + 1

Сравнивая коэффициенты вычисленных функций с коэффициентами исходной функции, находим, что наиболее точно параметры фильтра определены нз условия симметрии схемной реализации фильтра.

Следует подчеркнуть, что обеспечение требуемой точности результатов при реализации фильтров высокого порядка является сложной задачей, а известные методы уменьшения погрешностей, применяемые при вычислениях на стационарных ЭВМ (нз которых основным является вычисление с кратным увеличением разрядности операндов) практически неприменимы прн расчетах с помощью микрокалькуляторов с фиксированной разрядностью операндов. Поэтому ограничимся следующими рекомендациями:

1. Все вычисления необходимо выполнять с максимальной разрядностью и плавающей запятой (точкой), не округляя исходных данных и промежуточных результатов вычислений.

2. При расчете симметричных фильтров (например, Баттерворта или Чебышева) целесообразно вычислять только первые п/2 или (п+1)/2 параметров, определяя остальные нз условия симметрии схемы фильтра.

3. При расчете несимметричных фильтров целесообразно выполнять вычисления дважды для функций Kbi(p) и Квых(р) или 2вх(р) и 2вых(р), сравнивая полученные результаты для ориентировочной оценки погрешностей.

Добавим, что точность вычислений по программе 108 значительно выше, чем по программе 258 с вычитанием близких чисел, в связи с чем программу 108 целесообразно использовать и для оценки влияния погрешностей вычисления коэффициентов фильтра на передаточную функцию.

Прн синтезе фильтров с передаточными функциями К(р), имеющими нули (полюсы затухания), кроме операции разложения в цепную дробь входной функции приходится выделять полюсы затухания, реализуемые для входных функций звеньями, показанными на рис. 55, а н б, согласно следующему алгоритму:

1. Вычислить индуктивность Lf для 2(р) нли С/ для Y(p) по формуле Wi = M{p)/pN{p) прн p=jv/, где Al(p) V(p) - синтезируемая функция; v/ - частота выделяемого полюса затухания.

2. Вычислить остаточную функцию Z (р) = Z (р) -pLj = (N (р) - - pLsM(p))IM(p) илн Y (p)Y {p)-pCs=(N{p)-pCiM{p))lM(p).

Z 1

Рнс. 55

Y Y