Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) ( 101 ) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (101)

Л; = у 5 ЯО sinAjtOo/d/; (9.3)

-7-/2

Л; = у 5 f{t)coskb>QMt. (9.4)

-7-/2

Из курса математики известно, что sinx = (е - е~")/(2/). Следовательно,

Подставив правую часть формулы (9.5) в выражение (9.1), получим

/(/) = Ло + Y Л[еЛ*-о + Чл) е-/(*«>о + Чй)]. (9.5а)

Обозначим

= Л.еЧ (9.6)

Л ,= - Л,е~"Ч (9.7)

Тогда ряд (9.5а) можно записать так:

Л = оо

ЯО = Ло + I k""- (9-8)

л = - оо

Формула (9.8) представляет собой комплексную форму записи ряда Фурье. Текущий индекс k может принимать все целые числовые значения от - оо до -f оо, но не может равняться нулю, так как постоянная составляющая ряда выделена в виде отдельного слагаемого.

Пример 109. представить функцию /(0=2+3sin((O(3/+30°) -f 2sin(2a)o/ ~ °) в комплексной форме записи.

Р е ш е н и е. Ло= 2. 1 = Зе""°; Л ,=- Зе""; Л2= 2е-/°; Л 2=- 2е°;

fit) = 2 + [ЗеЫ + 30°) Зе-/(«>о + зо°) 4. 2e2«>o - 45°) gg- iCo* + 45°)].

Составим выражение для комплексной амплитуды А. По определению [см. формулу (9.6)],

А, = A.ek = Л,со811), + /Л,81пф, = Л/ + }А,\ (9.9) Де Л/ определяется формулой (9.3), Л/ - формулой (9.4).



Подставим правые части формул (9.3) и (9.4) в формулу (9.9):

TI2 Т/Ч

2 2/

= у J /(/)(slnA;tuo/ 4- /cosfetOoOd/ = у J f{t){coskiiiQt - isinkbiQt)dt,

- T/2 - T/2

* = 7 i /(Oe-*"oM (9.10)

- г/г

Подставим правую часть формулы (9.10) в формулу (9.8):

А = оо т/2

т = А~\- е-оу \ /(Oe-*"oMf. (9.11)

А = - оо - 7-/2

§ 9.2. Спектр функции и интеграл Фурье. Ряд Фурье - это тригонометрический ряд, представляющий собой изображение периодической функции суммой синусоид, амплитуды которых конечны, а аргументы кратны основной частоте (Ор.

Под интегралом Фурье понимают тригонометрический ряд, представляющий непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа синусоид, амплитуды которых бесконечно малы, а аргументы соседних синусоид отличаются на бесконечно малые значения.

Формулу для интеграла Фурье получают из формулы для ряда Фурье [из формулы (9.11)] предельным переходом при стремлении периода Г к бесконечности.

На функцию/(/)при представлении ее интегралом Фурье накла-

+ 00

дывают ограничение, а именно, полагают, что /(/)d/ есть величина

- со

конечная (не бесконечно большая). Это серьезное ограничение. Ряд функций этому условию не удовлетворяет*.

Среди функций f{t), для которых интеграл t)dt расходится, наиболее важной

- ос

для Практики является функция f{t) = А, где А - постоянное число. Для того чтобы эту функцию представить интегралом Фурье пользуются следующим приемом. Находят интеграл Фурье для функции /(/) = Ае" где р > О и /(/) = О при / < 0. Для

этой функции /(/)d сходится, поэтому она может быть представлена интегралом

- со

Фурье. Далее в полученном выражении устремляют р к нулю. 312



Так как ПО определению [см. формулу (9.2)], Ло = у J /(Od/, а при

-7-/2

f-oo /(Od есть величина конечная, то = 0.

- оо

Преобразуем выражение у J Д/)е~*оМ/, стоящее под знаком

- т/2

суммы в формуле (9.11). С этой целью произведение kcdQ заменим на ш[под(обудем понимать изменяющуюся (текущую)частоту]. В ряде Фурье разность двух смежных частот Ло) = (о = 2п/Т. Следовательно, 1/Т = Л(о/(2я).

При Г-оо заменив Л(о дифференциалом do), получим

т/2 + оо

-т/2 -со

Обозначим

+ °° (9.12)

S(/(o)= 5 f(t)e-i*dt.

Формула (9.12) дает возможность преобразовать функцию времени f{t) в функцию частоты 5(/(о); преобразование (9.12) называют прямым преобразованием Фурье, aS(/co) - спектром функции f{t). Это комплексная величина, зависящая от вида функции /(/). В со-

ответствии с (9.12) в (9.11) заменим yj/(0e"d на - S(/(o)d(o и

- т/2

учтем, что при изменении от-сюдоН-оо(о = также изменяется от - оо до + оо. Следовательно,

со = -{- оо

/(0 = I S(/co)e/dco.

О) = - оо

Заменив сумму интегралом, найдем

+ °° (9.13)

/(0 = \ S(/co)e/-dco.

- ос

Формула (9.13) представляет собой запись интеграла Фурье (формулу обратного преобразования Фурье). Она выражает непериодическую функцию f{t) в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами S(/(o)d(o [5(/(о) конечно, но произведение S(/(o)d(o бесконечно мало, так как бесконечно мало значение dco].



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) ( 101 ) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)