Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) ( 102 ) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (102)

в соответствии с формулой (9.13) для нахождения реакции системы на любое воздействие следует его представить в виде бесконечно большого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакцию на все воздействия.

Преобразования (9.12) и (9.13) являются взаимно обратными.

Отметим, что представление функции f{t)B комплексной форме в виде интеграла Фурье [формулы (9.13)] привело к необходимости формально ввести отрицательную угловую частоту. При этом сумма слагаемых подынтегральной функции (9.13) при ±0) дает синусоидальные колебания частоты о.

Сопоставим формулу (9.12) с формулой преобразования по Лапласу:

f(p)= \ Л0е-"с1<,

(9.14)

если [(t) = О при <С 0.

Если учесть, что /(/) = О при / <С О, и заменить р на /о, то (9.14) переходит в (9.12). Следовательно, формулы для спектра функции S(/o)) могут быть получены из соответствующих выражений для изображений по Лапласу, если в последних р заменить на /со.

Пользуясь соотношениями § 8.39, найдем спектр (})ункции f[t) = е"*", полагая, что f{t) = О при t <0.

Изображение по Лапласу 1/(а +/?). Заменим р на /со и получим спектр S(/co) = 1/(а -f/со); 5(/со) есть комплексная величина, равная S(co)ePs. Модуль ее равен l/Va со, аргумент = arctg[-со/а]. Графики для экспоненциального импульса изображены на рис. 9.1, а, б.





Пример 110. Найти S(w) и ф(а)) для прямоугольного импульса (рис. 9.1, в) амплитудой А и длительностью ty,.

Решение. По формуле (9.12) определим спектр

" 1 р- /«и А

S(/a)) = Aie- f** dt = A-:-= --(1 - costo/ + /sinto/J;

3 /to /00 " "

V(l - costu/„)2 sinto = V2(l - costog =y4sin2=2sin. Модуль

2Л/„ I sinto/J

График этой функции приведен на рис. 9.1, г. Пунктиром показана огибающая. Аргумент ф, для прямоугольного импульса вычислим по формуле

COSw/j, - 1 U)t

tg<Pc =-:-:-= - tg-7- График показан на рис. 9.1, д. При значениях

sina)/„ 2

Mj, = п, Зл;,...фд возрастает скачком на п.

Обратим внимание на то, что при определении S(/(o) путем замены р на /о) в формуле для F(p) следует соблюдать некоторую осторожность, если функция /(/) имеет импульсный характер, иначе можно потерять импульсную компоненту в 5(/(о) в виде дельта-функции. Например, изображение функции \{t) по Лапласу равно 1 /р,

тогда как спектр 5(/со)функции 1(/)равен не 1 (о, а яб(ш) + -г-. Чтобы

показать это, определим спектр функции 1(/)е~Р(р>0), а затем устремим

[ l(Oe-Pe-/-d/ = -i-= --/V.

Первое слагаемое правой части при и при (о-О стремится к бесконечности, т. е. имеет вид дельта-функции аб((о), второе слагаемое правой части при равно 1 (о. Чтобы вычислить коэффициент а, проинтегрируем Р/(р -f (о) = аб(о)) по (о от - оо до -foo:

- оо

Р \ TF";-i=Pftarctg = -- =я,а \ 6((o)dto=l.

J Э" -h to Р Р -оо 2 2 J

- оо* \ / -оо

Поэтому а = ли спектр 5(/(о) функции 1(/) равен яб((о) -- В

примере 110 при определении S(/(o) функции /(/) (см. рис. 9.1, в) слагаемое в виде дельта-функции в спектре отсутствует, так как у Функции имеются два равных по значению, но противоположных по



знаку скачка [яб(ш) + ] - [лб(а)) +-т]е~*; при (о = О слагаемые

/со /со

лб((о) выпадают.

§ 9.3. Спектр функции, смещенной во времени. Спектр суммы функций времени. Если функции времени /( соответствует спектр S(/o)), то функции [{t - т) соответствует спектр e~**S(/(o), что следует из теоремы смещения в области оригиналов (см. § 8.40), если заменить р на /о).

Так как модуль функции е"** равен единице, то модуль спектра функции /(/ - т) равен модулю спектра функции /(/), т. е. равен S(a)), однако аргумент спектра функции /(/ - т) отличается от аргумента спектра функции [(t) на -шт.

Если f(t) представляет собой сумму нескольких функций времени, например f{t) = fi{t) +/2(0» а каждая из них имеет спектр соответственно 5i(/a)) и S2(/o)), то спектр S(/(o) функции f{t) равен сумме спектров этих функций, т. е. S(/(o) =S,(/(o) 4-S2(/(o). Это следует из линейности преобразования (9.12). Однако модуль S((o) S,((o) +52(0) и аргумент фДш) фДш) +ф,2(о)).

§9.4. Теорема Рейли. Теорему Рейли(Релея) записывают следующим образом:

оо оо

\f\t)dt=-\S\u>)diO. (9.15)

функция f{t)-0 при /<l);S((o) представляет собой модуль спектра S(/a)) функции /(/):

5(/а))= \ f{t)e-fdt. (9.16)

Если принять, что f{t) есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (9.15) представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении.

Таким образом, площадь квадрата модуля спектра S(a)), разделенная на л, является энергией, рассеиваемой в активном сопро-, тивлении, на которое воздействует /(/).

Основой при выводе теоремы Рейли служит обратное преобразование Фурье:

1 +~

/(0 = 5 S(/to)e/«>dto.



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) ( 102 ) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)