Умножим обе части последнего равенства на f{t) и проинтегрируем по t от -оо до -foo:

-f-oo +00 --оо

S /(Od = \ /(01 \ S(/to)e/-dto]d<.

- оо -оо

в правой части изменим порядок интегрирования:

--00 +00 +00 +00

5 /(/)[ 5 5(/w)e/-do)]d/= J (/)[ S /(Oe"d]dw.

-00 -00 -00 -00

В соответствии с формулой (9.16)

-foo - ос

следовательно,

-f-oo -\-°° -\-°°

5 f\tW - 5 S(/to)S(-/to)dto = \ S2(to)dto.

- 00 -00 -00

Для перехода к формуле (9.15) учтем, что при <::0 функция f{t) = 0. Это дает возможность заменить в левой части нижний предел с -оо на 0. Приняв во внимание, что квадрат модуля S(o)) есть

-I-00

четная функция частоты, заменим в правой части последнего урав-

- оо

-Ьоо

нения на 2 . В результате получим формулу (9.15).

Величину называют спектральной плотностью энергии

сигнала, а функцию S(ci)) = /(to) - энергетическим спектром.

§ 9.5. Применение спектрального метода. Спектральный (частотный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частотных свойств цепей. Особенно щироко его применяют в радиотехнике при рассмотрении вопросов прохождения модулированных колебаний через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях Даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулированное Колебание или соответственно импульс, пройдя через четырехпо-•"юсник, изменился по амплитуде, на некоторое время /q запоздал Во времени, но недопустимо, чтобы существенно изменилась форма Импульса (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса

(колебания) на выходе. Недопустимость изменения формы импульса (колебания) следует из того, что именно в форме импульса (колебания) заключена информация, которую он несет.

Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передаточной функцией /С(/о)) = /С(о))е*" при нулевых начальных условиях воздействует сигнал /,(/), имеющий спектр S(/o)). На выходе четырехполюсника появится сигнал fjt), спектр которого

(/w) = /С(/о))5з,(уо)),

(9.17)

+ 00

где5з,(/о))= \ /,(Ое-"-М/.

- оо

Так как сигнал /2(0 может отличаться от сигнала /i(/) по значению (по амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое время но по форме должен быть таким же, как и fy(t), то можно записать, что /2(0 = «/i( - о)-

Если к функции /2(0 применить преобразование Фурье, то окажется, что спектр функции /2(0 равен

flSJ/o))e-/-o. (9.18)

Сравнивая (9.17) и (9.18), замечаем, что

/((/(о) = /C(o))e>() =

Следовательно, для прохождения импульса или модулированного колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не зависел от частоты), а аргумент ф(с1)) = - (од линейно изменялся в функции частоты (рис. 9.2, а).

В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выпол-, нены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую называют полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значениями О), при которых отношение масимального значения /((to) к минимальному равно \/2 (рис. 9.2, б). Такой характеристикой обла-

дает, например, схема рис. 3.42, а. Для этой полосы приближенно полагают, что К{ы) = const; ф((о) = - (о/.

Для того чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частотного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот от (о = О до ш = 2ji „, где „ - длительность импульса.

Если же необходимо передать через четырехполюсник основную часть энергии сигнала (например, 90 % энергии сигнала), то полосу частот можно сузить примерно до 0-l/

Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения импульса все же не выполняются, то, проходя через четырехполюсник, импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно двумя способами, основанными на частотных представлениях.

Первый способ состоит в непосредственном применении прямого и обратного преобразований Фурье.

Основные этапы этого способа таковы: 1) нахождение спектра t/,(/a)) входного сигнала «,(/); 2) определение передаточной функции четырехполюсника K{jto); 3) получение спектра выходного сигнала V2{j(ti) =/C(/w) (У,(/(о); 4) вычисление W2(О по /2(/со).

Последнюю операцию можно осуществить с помощью формулы (9.13), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изображения по Лапласу, заменив /ш на р в ИЦа).

Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи операторным методом и для сложных схем оказывается малопригодным, поскольку решение достаточно громоздко, и, пользуясь им, трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизменных остальных влияет на фронт и на вершину импульса. Пользуясь этим методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформацию фронта, какие - на деформацию вершины импульса.

В литературе по импульсной технике получил распространение второй способ решения, также основанный на спектральных представлениях. В основу его положено то обстоятельство, что искажение формы фронта выходного импульса по сравнению с формой фронта входного импульса зависит от свойств передаточной функции четырехполюсника на высоких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вершины импульса определяется Свойствами передаточной функции на низких частотах (теоретически на частотах, близких к нулю).

Эти положения соответствуют предельным теоремам операторного метода (см. §8.4).

Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы