/S(/co), при й)<0: -/S(/co), при со>0.

-/sgn(co)S(/tu) = Соотношение (9.28) следует из формулы (9.25) и из определения

5(0 = 5 S(/6))e-da).

(9.28)

Способ получения s (с помош.ью квадратурного фильтра вытекает из(9.28). На вход этого фильтра подают сигнал s(t). Фильтр, сохраняя модули S(/tu) при всех частотах неизменными, изменяет аргументы всех спектральных составляюш.их на -90° при со > О и на +90° при со < 0.

§9.10. Прямое и обратное преобразование Гильберта. Поскольку спектр сопряженного сигнала s (t) равен S(/cu) = -/sgn(cu)S(/co), то сам сигнал s (t) может быть определен как свертка функций s{t) и некоторой функции времени /(/), которая определяется по обратному преобразованию Фурье от функции -/sgn(co).

Последнюю представим так:

-/sgn(co) = lim[-/sgn(co)e~"](pHc. 9.5, г).

е-ьО

Тогда

и оо

«

fU) = -f- lim ( е( + <> dco - [ е(- + da>] =

2л J 3 nt

(9.29)

По формуле свертки

(9.30)

Из (9.28) следует S(/co) = /sgn(cu)S(/co). Поэтому, по формуле свертки.

1 г S (T)dT

(9.31)

Формулу (9.30) называют формулой прямого, а формулу (9.31) - обратного преобразования Г ильберта. Для них приняты обозначения Н и Я"". Так, S (/) = H\s{t)\, s{t) = H~\s (OJ. Ядра подынтегральных функций (9.30) и (9.31) при т = / терпят разрыв, поэтому интегралы следует понимать в смысле главного значения. Например, интеграл (9.30) вычисляют так:

t-е оо

s(T)dT i с s(T)dT

S (/) = - lim

J t - r 3 t-

Вопросы для самопроверки

I. Чем принципиально отличается ряд Фурье от интеграла Фурье? Запишите й прокомментируйте формулы прямого и обратного преобразования Фурье. 2. Чем объяснить, что при обратном преобразовании Фурье кроме положительной угловой частоты со используется и отрицательная? 3. Любая ли функция f{t) может быть преобразована по Фурье? 4. Для функции f{t) известна F{p). Как записать функции? 5. Постройте графики модуля и аргумента спектров функций te

(I - ае *; функции равны нулю при / < 0. {Ответ: для

tel S{JK>)\ = -z-, ф = -arctg-5-.6. Сформулируйте и докажите те-

а J , 2 а - (О

орему Рейли, дайте ей физическое толкование. 7. На резистор сопротивлением R=10 Ом воздействует импульс напряжения, модуль спектра которого S(o)) == при

0<::(о<10 . В остальной области частот S(o)) = 0. Определите энергию, выделившуюся в резисторе? {Ответ: 400 Дж). 8. Что понимают под полосой пропускания реального четырехполюсника? 9. Определите полосу частот, занимаемую прямоугольным импульсом длительностью 1 мкс. {Ответ : 6,28-10 рад/с.) 10. Чем руководствуются при составлении укороченных схем четырехполюсника при исследовании деформации фронта и вершины проходящего через него короткого импульса? 11. Определите текущий спектр 5Д/со) функции f{t) = е~", полагая, что f{t) = О при /<0. {Ответ:

1 е-(а + Усо)/ 1 7

---:-.) 12. Проверьте правильность формулы 6{t) = ~ \ costo/d/. 13. По-

а -- /О) 2л J

- оо

кажите, что спектр б-функции равен 1. 14. Покажите, что если функция f{t) имеет спектр S(/(o), то спектр функции af{at) равен S{j-). 15. Покажите, что если сигнал s(t) представляет собой амплитудно-модулированное колебание U{1 ---}- msinQ/)sino)/, то при co::??>Q сопряженный сигнал s {t) U{1 -\- msinQ/)coso)/. 16. Определить автокорреляционную функцию пря моугольногосигнал а /(/), рис. 9.16,0.

[Ответ: Н{г)=А\{1-Щ.]

Глава десятая

СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

§ 10.1. Характеристика синтеза. Синтезом линейной электрической цепи называют определение структуры цепи и числовых значений составляющих ее элементов L, С по известным операторным или (временным характеристикам этой цепи при воздействии на вход напряжения определенной формы. Одному и тому же операторному выражению, принятому в качестве исходного при синтезе, может соответствовать несколько различных схем разной структуры. По-этому, после того как получено несколько рещений, выбирают из ,,них наиболее подходящее. Чаще всего критериями при окончатель--tHOM выборе схемы являются стоимость, габариты и масса устройства, а также чувствительность при изменении того или иного параметра схемы.

Задачи синтеза ставят и решают в теории сложных фильтров, в теории корректирующих контуров в автоматике, связи, радиотехнике, а также в кибернетике при создании предсказывающих и сглаживающих устройств.

Синтез развивался главным образом по двум направлениям: 1) известным операторным функциям [по Z(p) для двухполюсников и Передаточной функции для четырехполюсников]; 2) временным характеристикам, т. е. по известному временному отклику системы при воздействии единичного напряжения.

Эти два направления взаимно дополняют и развивают друг дру, га. В настоящее время наибольшие результаты достигнуты на первом из упомянутых направлений.

В § 10.2 - 10.9 даны основные сведения о синтезе цепей по заданной операторной функции (более полно об этом см., например, [3]). Методика синтеза цепей по заданным временным функциям здесь не рассматривается (для ознакомления с ней следует обратиться к специальным руководствам).

В теории автоматического регулирования распространен синтез, основанный на использовании логарифмических частотных характеристик, в импульсной технике подбор параметров электронных и полупроводниковых схем, т. е. в известном смысле синтез этих схем, производят, используя спектральный метод, рассмотренный в гл. 9.

§ 10.2. Условия, которым должны удовлетворять входные сопротивления двухполюсников. Если представить входное сопротивление двухполюсника в виде отношения двух полиномов, расположенных по убывающим степеням оператора р,

Щр) + - + aiP + fl (10.1)

М{р) 6p- + iP"-4...+V + o

то должны выполняться следующие пять условий:

1) все коэффициенты а и в числителе и знаменателе должны быть неотрицательны (в дальнейшем будет ясно, что условие 1 вытекает из условия 3);

2) наивысшая (наименьшая) степень полинома числителя [п) не может отличаться от наивысшей (наименьшей) степени полинома знаменателя (т) более чем на единицу;

3) если условиться значения р, при которых Z{p) ~0, называть нулями функции Z(p), а значения р, при которых Z(/7) - оо, - полюсами Z{p\ то нули и полюсы должны быть расположены только в левой части плоскости р\

4) нули и полюсы, расположенные на мнимой оси плоскости р, должны быть только простые, не кратные;

5) если вместо р в выражение Z(p) подставить yw, то при любом значении ш должно быть ReZ(/(o).

Поясним эти требования. Из § 8.11 известно, что свободные процессы описываются слагаемыми вида Луек и обязательно должны затухать во времени; р - корни уравнения Z(p) =0. Но зату-хатьсвободные процессы(слагаемые вида Л eV) могут только втом случае, когда действительная часть р отрицательна. Отсюда следует, что нули уравнения Z(p) =0 должны обязательно находиться в левой части плоскости р.

Поскольку каждому планарному двухполюснику соответствует дуальный, а входная проводимость дуального двухполюсника У(р)= = Z{p)/k, где k - некоторый коэффициент, имеющий размерность