Для первого контура

Для второго контура

(а) (б)

R5Uu-h2) + {R3 + R,V

{-R5)fu+iR3+R4 + R5)I

В уравнении (б) множитель при токе /ц, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через /?,,, множитель при токе /22 (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) - через R-

Перепишем эти уравнения следующим образом:

RiJn + /,2/22 = пП (2.46)

2111 + 2222 - 22-

Здесь

Ru = R, + R2 + Rb, En = . + E,; /?,2 = /?2,

5" 22 - 3 +

4 4- 5 22

где /?,, - полное или собственное сопротивление первого контура; .Ri2 - сопротивление смежной ветви между первым и вторым кон-птурами, взятое со знаком минус; Ец - контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); R22 - полное или собственное со-> противление второго контура; - сопротивление смежной ветви у между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; £22 - контурная ЭДС второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k- и т-контурами входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных

токов Ikk и 1тт ВДОЛЬ ЭТОЙ ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны.

Если В схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(2.4в)

или в матричной форме

[/?][/] = [£);

(2.4г)

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с разными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.

В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными.

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контурами (например, в ветви с сопротивлениями /?2 схемы рис. 2.12), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением протекающий сверху вниз ток равен разности - /gg.

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно п.

Общее решение системы п уравнений относительно тока Ij:

hk - п д

(2,5)

(2.6)

- определитель системы.

Алгебраическое дополнение A получено из определителя Д путем вычеркивания -го столбца и т-й строки и умножения полученного определителя на (- 1)* +

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что km - mA можно убедиться В ТОМ, ЧТО опредслитсль делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали А - А.

Пример 13. Найти токи в схеме (рис. 2.13) методом контурных токов. Числовые значения сопротивлений в омах и ЭДС в вольтах указаны на рисунке.

Решение. Выберем направления всех контурных токов/.,, и /33 по часовой стрелке. Определяем: /?,, = 5 + 5 + 4 = 14Ом; /?22 = 5 + 10 + 2 = 17 Ом; /33 = 2+ -f2+ 1 =5 0м;/?,2 = /?21 = -5 0м; /?,з=/?з, 0; /?2з =/?32 = - 2 Ом; - =- 10 В; £33 = - 8 В.

* Ю 8

Рис. 2.13

Записываем систему уравнений:

И/ц- 5/22

-10;

5/11 + 17/22-2/33= 10;

Определитель системы

- 2/22 + 5 /33 -

14 -5 О -5 17 -2 =1009. 0-2 5

Подсчитаем контурные токи

/11 =

- 10-5 10 17 -8 2

-640

1009

= -0,634А;

22 = 0,224 А; /33 =

1,51 А.

Ток в ветви cm hm = /ц-/22=-0,634-0,224=-0,86 А.

Ток в ветви am 1 = /22-/33 = 0,224 + 1,51 = 1,734 А.

Формула (2.5) в ряде параграфов используется в качестве исходной при рассмотрении таких важных вопросов теории линейных электрических цепей, как определение входных и взаимных прово-димостей ветвей, принцип взаимности, метод наложения и линейные соотношения в электрических цепях.

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивлениями, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответствующих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Если для схемы рис. 2.14, а принять, что контурный ток /ц = У течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток /22 =