Рис. 10.10

Рис. 10.11

Входное сопротивление

Ul /?(Zj+Z2)+2ZjZ2

-~/;~ 2/?+z,+Z2

Приравняв Z=R, получим соотношение ZiZ,f=9 Из него следует, что реактивные сопротивления Z и Z взаимно обратны. В формулу для K[j подставим Z - R I Z(.

-\ w > (а)

~7?+Z

Так как Z,

- чисто реактивное сопротивление, то модули числителя и знаменателя формулы (а) одинаковы и потому /((о)) = I.

При изменении частоты со меняется только аргумент ф{со). Четырехполюсник рис. 10.9 служит для фазовой коррекции. С этой целью его включают между источником питания с внутренним сопротивлением R и активной нагрузкой R, и он, не изменяя напряжение источника питания по модулю, поворачивает его на требуемый угол. (р((о) по фазе, осуществляя этим фазовую коррекцию. Имея в виду, что f<S = 1; е* = cos(p(ft))-b/sin(p((o), определим из (а)

14-cosф(ft))+/siпф{co)

Сопротивление = / Z. Сопротивление ZjX чисто реактивное. График Х=/((о) имеет вид тангенсоиды. При ф((о) = л, 2л...X изменяет знак. Иногда Zf реализуют схемой (рис. 10.10). Для определения параметров этой схемы составляют1[ столько уравнений, сколько параметров неизвестно, и затем эти уравнения совместно решают. Положим, что Ц){т) корректирующего четырехполюсника до1жна иметь значения ф((1))при ы,, ф((02)при WgHT. д. Тогда уравнения, которые нужно совместно

решить относительно L, L9, С,, С», получают, если входное сопротивление схемь< (рис. 10.10)

/(oL -h--гтг +

l-wLjC,

1-(О L2C2

Обратим внимание на то, что знак ф((о) противоположен знаку аргумента b в выражении постоянной передачи g~a-\-jb четырехполюсника.

Рис. 10.12

последовательно приравнивать к Z, = -/7?tg* при выбранных частотах. В результате система уравнений относительно L, С,, Cg имеет вид

--tg-- = L-

l-(ofL,C

1 -(OjLgCg

§ 10.9. Четырехполюсник для амплитудной коррекции. Схема четырехполюсника, осуществляющая амплитудную коррекцию, изображена на рис. 10.11. Корректор нагружен на резистор сопротивлением R, входное сопротивление его также равно R. Сопротивления Z, и взаимно обратны {ZZ2=R). Постоянную передачу g=a-\-jb (см. § 4.10) в этом случае определяют по формуле

Так как е = 1, то е° = 1+Z, j R \ Последняя формула связывает параметры схемы рис. 10.11 и частоту со с затуханием а. В зависимости от того, что представляет собой сопротивление Z,, характер зависимости а = /(со) оказывается различным. В качестве примера на рис. 10,12, а - г изображены четыре схемы с различными Zj и Zg и графики соответствующих им зависимостей..

Схему амплитудного корректора выбирают в соответствии с той зависимостью а = /(со), которую необходимо реализовать. Параметры схемы корректора (например, сопротивление /?,, емкость конденсатора С, для схемы рис. 4.12, а) определяют путем совместного рещения системы уравнений, полученных приравниванием модуля вeличиныl---Z, / /?значение е" при фиксированных значениях Частоты со. Уравнений составляют столько, сколько в Zj неизвестных параметров. Уравнения имеют вид

U+Z,/R\

ia(to,).

\i+ZJRl

1 X

Рис. 10.13

Частоты со,, cOg, ... выбирают для характерных точек зависимости а = /(со) либо через равные интервалы.

§ 10.10. Аппроксимация частотных характеристик. Аппроксимация - это приближенная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимостью, которая точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от нее в допустимых пределах вне этих точек, давая в то же время физически

рис. 10.13, а (х), где Л:(/х)

это частотная передаточная

реализуемую функцию. Например, кривая /С(/(о) характеристика идеального фильтра НЧ К fx)

функция; JC = ы / (Ос, где Wc - безразмерная величина, равная частоте среза.

В диапазоне изменения хот О до I A(/jc)= 1; при jc>1 A(/jc) = 0. Пунктирная кривая / рис. 10.13, б повторяет кривую рис. 10.13, а, кривая Охарактеризует гладкую аппроксимацию, при которой отклонение от кривой / неодинаково в диапазоне аппроксимации. Кривая»? иллюстрирует равноволновую аппроксимацию, при которой абсолютные значения максимальных отклонений от средней линии в обе стороны одинаковы. Гладкую аппроксимацию осуществляют обычно пблиномами Баттерворта, равноволновую - полиномами Чебышева. Известны и другие способы аппроксимации [9, 17], у каждого из них имеются свои достоинства и недостатки.

Гладкая аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квадрата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так:

1 4- тх"

Принимают, что при jc=l A(/jc) = 1 2, откуда w == 1. Полагая р =/х, найдем полюсы I /((/х) f:

K{ix)K{~jx) =-!-5- .

При нечетных пр= l/" = е*"/" = 0,1,...,/г; при четных/г р. = (-1)/" =

= е 2« ,k==0,l,...,n.

Полюсы расположены симметрично по окружности единичного радиуса. Полиномы (р - Pi)--.(p-р„) образуют знаменатель Л(/х)и называются полиномами Баттерворта. При составлении их используют значения р, находящиеся только в левой полуплоскости. Это обеспечивает физическую осуществимость К{р). Запишем полиномы при /г = 1 (р 4- 1); при п=2р + V2p -f- 1; при п = 3 р -f 2р + 2 р -f- 1-

Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно при х == a=\0\g{U J1/2)определим п:

20\g\Ui/U2\ 20! g2