Т,(х)

Рис. 10.14

Например, при а = 18 дБ п = 18/ (20 Ig 2) = 2,98 « 3. В рассматриваемом примере

функцию Л()о) реализуют известными методами.

Равноволновая аппроксимация. Полиномы Чебышева порядка п записывают в тригонометрической форме:

Г„ (х) = cos« arccos х.

Полагая arccosx=e и имея в виду, что cos«e=cos"e- cos"~0sin6+...,

1 • 2

а sinO =/1-х, получим алгебраическую форму записи полиномов:

= " + су-Ч -1)4- Cjx"-V - l) + • • • . Например, при п = 5 Т{х) = 16х-20л: + 5х.

В интервале х = 0-ь17Дх) колеблется от 1 до -1 (рис. 10.14, а). При

X >• 1 УДх) монотонно возрастает.

Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧ с помощью полиномов Чебышева аппроксимируют так:

Максимальное отклонение j K(jx)\ от 1 равно

Vl +

,При X >• 1, т. e. в области затухания фильтра НЧ,

иК(/х) =

YnW усЬ(пАгсНл:)

Примерный вид аппроксимирующей кривой K{jx}\ показан на рис. 10.14, б. Для заданного отклонения у и затухания а в децибелах при х = 2 а~ 20lg и/и = 201g 1 ((/2) порядок полинома Чебышева определяют по формуле

1 10°/20

п = --Arch-, где 1,32 = Arch2.

1.32 V

Например, для у = 0,4 и а = 30 дБ при х = 2 Л(/х) =0,0318• 1 . ,10* 5,06 п - --Arch = - = 3,84. Принимаем п = 4. 1,32 0,4 1 ,о2

Для составления К{/х) следует определить полюсы A(/x), находящиеся в левой полуплоскости. Подставим в j Л(/л:) х = Pf/j и приравняем нулю знаменатель

\KUxf. 1 + yTlip./i) = О или = ± }/у.

При О < X < 1 TJx) = Г„ При X > 1 Тп{х) - Tn{pk/i) = cLATch{pk/i).

~ cosn[arccos-г1 = ± j/y.

Так как р/ - комплексное число, то arccos p j - тоже комплексное число, которое положим равным а + /р. Тогда

ТгкРкП) = cos{naf + jn) = cos/zttych/zpy - /sin/г авЬп = ± j/y. Отсюда

cos п (tfch п = О, sin /г а sh n = ± 1/у. Так как chn кФ О, то

cos п tty == о и tty = (2А + 1), Л = 0,1,...,/г.

При этом

sin па ± 1; sh п = 1/y; -Arsh(l/y).

Так как arc cos{pJj) = а + /Р/, то pf = a- jb = /cos(ay + j). Действительные и мнимые части полюсов р/, лежащих в левой полуплоскости:

л (2k 4- Пл

a-sh sin {2k + 1); = ch h cos -p-, k = 0,1,...,я.

Из последней строчки следует, что a/sh + b/ch Р/ = 1, т. е. полюсы р расположены на эллипсе, одна полуось которого равна shp, другая - chpy.

В рассматриваемом примере при п = 4 и у = 0,4 ру = 0,412; shpy=0,421; shpy=l,08.

Для построения эллипса чертим две окружности одну радиусом shPy, другую радиусом chpy(pHC. 10.15) и через начало координат проводим прямые до пересечения с окружностями под углами а = (2Л + 1){л/2п), где k ~ 0,1,..., п. В примере 22,3; 67; 111; 156°.

Из точек пересечения лучей с окружностью меньшего радиуса проводим верти кали, а из точек пересечения с окружностью большего радиуса - горизонтали. Точки пересечения соответствующих горизонталей и вертикалей на левой полуплоскости дают искомые полюсы. В примере Pq3 = - 0,164 ±/0,995§

Pi2~ - 0,388 ± /0,416. Нормированная передаточная функция

т =

{Р-Ро) {Р-Рз) iP-Pi) (Р-Рч)

[{р + 0,164) + 0,995"] 1(р + 0,388)" + 0,416"]

Рис. 10.15

По К{р) определяют схему и ее нормированные параметры L„, С„. Таблицы полиномов знаменателя нормированного К{р) низкочастотных фильтров, аппроксимированных различными способами даны в [9,17]. Для перехода от нормированных к действительным параметрам L, С пользуются соотношениями L = и

С = С„/о).

Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует отдать предпочтение, зависит не только от стоимости и габаритов при практическом осуществлении схемы, но и от того, насколько фазочастотные характеристики получающихся четырехполюсников удовлетворяют поставленной задаче.

В заключение отметим, что нормирование распространяется не только на передаточную функцию четырехполюсника, но и на другие функции, в частности на входное сопротивление или проводимость двухполюсников.

Если аппроксимируют не передаточную функцию, а входное сопротивление (проводимость) некоторого двухполюсника, то оно обычно нормируется не только по частоте Wq, но и по его числовому значению. При нормировании Z{p) по числовому

значению входное сопротивление (проводимость) делят на некоторую безразмерную величину Rq > 0. При переходе от схемы, реализующей нормированное сопротивление Z (ее параметры R, С„ и частота х), к той же схеме, но с ненормированными параметрами (ее сопротивление Z, а параметры R, L, С), последние опреде-

Z R 1ы1 1 ляют, сопоставив почленно одинаковые слагаемые тг = г -\- --\---7г;г- н

Rq Rq Rq }(oCRq

= /?„ + JxL + -r {x = w/wo).

в результате получим R = /?„/?о; = Ло/оУ = / (oo) гдео)о - величина безразмерная.

Вопросы для самопроверки

1. Укажите два основных направления развития синтеза электрических цепей. 2- Определите задачи синтеза, перечислите условия, которым должны удовлетворять Z{p) физически реализуемых двухполюсников. 3. Поясните идею реализации двухполюсников лестничной схемой. Покажите, как следует упорядоченно определять ее элементы. Любое ли 2(р) может быть реализовано лестничной схемой? 4. Как осуществить реализацию путем последовательного выделения простейших составляющих? 5. Нарисуйте две канонические схемы двухполюсников, отображающих Идеи реализации методом выделения простейших составляющих. 6. В чем идея реализации методом Бруне? 7. Какой четырехполюсник называют минимально-фазовым? 8. Начертите схему четырехполюсника для фазовой коррекции и поясните,