Рис. 2.14

-/3 замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током fz. {R2 + 3)22 - 2- = •

Отсюда /22 = "5-г-- и ток второй ветви /2 = -

/?2 + /?з

§2.14. Принцип наложения и метод наложения. Чтобы составить общее выражение для тока в Л-ветви сложной схемы, составим уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы -ветвь входила только в один -контур (это всегда возможно). Тогда согласно (2.5) ток в Л-ветви будет равен контурному току /. Каждое слагаемое правой части (2.5) представляет собой ток, вызванный в fe-ветви соответствующей контурной ЭДС. Например, £"11 Ад,1 / А есть составляющая тока -ветви, вызванная контурной ЭДС Ец. Каждую из контурных ЭДС можно выразить через ЭДС ветвей £„ Е, £3,-, £,-.,£„, сгруппировать коэффициенты при этих ЭДС и получить выражение следующего вида:

Eigki + Egk2 4- Eg

EkSkk 4- EnSkn- (2.7)

Если контуры выбраны таким образом, что какая-либо из ЭДС, например £, входит только в один т-контур, а в другие контуры не входит, то g, = А, / А.

Уравнение (2.7) выражает собой принцип наложения.

Принцип наложения формулируется следующим образом: ток в k-ветви равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из ЭДС схемы в отдельности. Этот принцип справедлив для всех линейных электрических цепей.

Принцип наложения положен в основу метода расчета, получившего название метода наложения.

При расчете цепей данным методом поступают следующим образом: поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой из ЭДС, мысленно удаляя остальные из схемы, но оставляя в схеме внутренние сопротивления источников, и затем находят

токи в ветвях путем алгебраического сложения частичных токов. Заметим, что методом наложения нельзя пользоваться для подсчета выделяемых в сопротивлениях мощностей как суммы мощностей от частичных токов, поскольку мощность является квадратичной функцией тока {Р = RP).

Если через некоторое сопротивление R протекают согласно направленные частичные токи 1 и /3, то выделяемая в нем мощность Р = 4- /2) и равна сумме мощностей от частичных токов: PRP, + RP.

Пример 14. Для схемы рис. 2.14, а методом наложения найти токи в ветвях, определить мощности, отдаваемые в схему источником тока и источником ЭДС, полагая R\=2 Ом; /?2 = 4 Ом; /?з = 6 Ом; У = 5 А; £ = 20 В.

Решение. Положительные направления токов в ветвях принимаем в соответствии с рис. 2.14, а. С помощью схемы рис. 2.14,6 (источник ЭДС удален, и зажимы cd закорочены) найдем токи в ветвях от действия источника тока:

r.=.J 5А; = /,

/?2 + 5 4 + 6

= ЗА; /о = 2А.

Используя схему рис. 2.14, в, подсчитываем токи в ветвях от действия источника ЭДС (зажимы аЬ разомкнуты, так как внутреннее сопротивление источника тока равно бесконечности):

/", = 0; /"2 = /"з = £ / (/?2 + /?з) = 2А.

Результирующие токи в ветвях вычислим, алгебраически суммируя соответствующие частичные токи этих двух режимов:

/j = /j -I- /"j = 5 + О = 5A; /2 = /2 - /"2 = 3 - 2 = 1 A; 3 = 3 + "3 = 2 + 2 = 4A; ф„ = Ф, + I2R2 + /,/?,; t/„,= 1.4 + 5.2=14B.

Мощность, отдаваемая в схему источником тока, UfJ = 14-5 = 70 Вт. Мощность, отдаваемая в схему источником ЭДС, £/3 = 20 • 4 = 80 Вт. Уравнение баланса мощности IR -\- i\R2 + ?з = t/,/ + £/3.

§ 2.15. Входные и взаимные проводимости ветвей. Входное сопротивление. На рис. 2.15,а изображена так называемая скелетная схема пассивной цепи. На ней показаны ветви и узлы. В каждой

ветви имеется сопротивление. Выделим в схеме две ветви: тик. Поместим в ветвь т ЭДС (других ЭДС в схеме нет). Выберем контуры в схеме так, чтобы k-ветвъ входила только в Aj-контур, а т-ветвь - только в т-контур. ЭДС Е вызовет токи в ветвях кит:

(2.8)

Коэффициенты g имеют размерность проводимости. Коэффициент g с одинаковыми индексами () называют вход-

ной проводимостью ветви (ветви т). Он численно равен току в ветви т, возникшему от действия ЭДС Е=1В (единичной ЭДС): / == \р

Коэффициенты g с разными индексами называют взаимными проводимостями. Так, g есть взаимная проводимость к- и т-вет-вей. Взаимная проводимость gf численно равна току в Aj-ветви, возникающему от действия единичной ЭДС в т-ветви.

Входные и взаимные проводимости ветвей используют при выводе общих свойств линейных электрических цепей (см. § 2.16 и 2.18) и при расчетецепей по методу наложения [см. формулу (2.7)].

Входные и взаимные проводимости могут быть определены расчетным и опытным путями.

При их расчетном определении составляют уравнения по методу контурных токов, следя за тем, чтобы ветви, взаимные и входные проводимости которых представляют интерес, входили каждая только в свой контур. Далее находят определитель системы А и по нему необходимые алгебраические дополнения:

г™. = Д™. / А; (2.9)

g.. = A,„/A. (2.10)

По формуле (2.10) g может получиться либо положительной, либо отрицательной величиной. Отрицательный знак означает, что ЭДС направленная согласно с контурным током в т-ветви, вызывает ток в /г-ветви, не совпадающей по направлению с произвольно выбранным направлением контурного тока по Aj-ветви.

При опытном определении g и gi в т-ветвь схемы (рис. 2.15, б)включают источник ЭДС а в/г-ветвь - амперметр (миллиамперметр). Поделим ток 1 на ЭДС Е и найдем значение g,. Для определения входной проводимости ветви m{g) необходимо изме-

Входные и взаимные проводимости ветвей можно определить и иначе: входная проводимость т-ветви - это коэффициент пропорциональности между током и ЭДС этой ветви (при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы); взаимная проводимость ветвей кит - коэффициент пропорциональности между током й-ветви и ЭДС т-ветви при отсутствии ЭДС в других ветвях схемы.