- = -1-- (2-20)

После определения напряжения Uf находят ток в любой (п-й) ветви по формуле /„ = (£„ - UJg.

Пример 22. Найти токи в схеме рис. 2.23, и сделать проверку баланса мощности, если Е = 120 В, £з = 50 В, /?i = 2 Ом, /?2 = 4 Ом, Rs = I Ом, Ra = 10 Ом. Решение. Определим токи в схеме рис. 2.23:

120-0,5 - 50.1 10

0,5 + 0,25 + 1 + 0,1 1,85

Л = ( 1 - ab)/Ri = (i20 - 5,4)/2 = 57,3 А; /2 = (£2 - ab)/f2 (О - 5,4)/4 = - 1,35 А; /3 = 55,4 А; /4 = - 0,54 А. В схеме потребляется мощность

+ ?2 + зз + 44 = 57,32.2 + 1,352.4 + 55,42.1 + 0,54. 10 = 9647 Вт.

, s

Источники ЭДС доставляют мощность - £3/3 = 120-57,3 + 50-55,4 = = 9647 Вт.

§ 2.22. Метод узловых потенциалов. Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических цепей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме я узлов. Так как любая (одна)точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять потенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшается с « до « - 1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров в схеме, данный метод является более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 2.24, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять Ф4 = О, то необходимо определить потенциалы только трех узлов: ф,, Ф2, Ф3. Для единообразия в обозначениях условимся в § 2.22 токи писать с двумя индексами: первый индекс соответствует номеру узла, от которого ток утекает, второй индекс - номеру узла, к которому ток подтекает. Проводимости ветвей также будут снабжаться двумя индексами. Необходимо заметить, что эти проводимости не имеют ничего общего

Рис. 2.24

С входными и взаимными проводимостями ветвей, которые рассматривались в § 2.15.

В соответствии с обозначениями токов на рис. 2.24 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

/,/ + 1«" + /з, = о.

(ф4-Ф.)к.Л-Ь[о-(Ф,-фЛх

[Е,/ - (ф, - ф4)]4, - -

Xgr - [El2 - (Ф2 - Ф,)1./ H-[2 - (Ф1 - Ф2)к12 Н- [31 - (Ф1 - Фз)к13 = 0.

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

Ф!!! Н- Ф212 Н- ФЗ

(2.21)

gn H- g

fff.

•11 = 4l4/ H- 31

21 621

£н"Я4,

E\2g\2 •

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Если схема имеет п узлов, то ей соответствует система из « - 1 уравнений:

Ф!,! + Ф2С,2Н- ... + Ф„-,0, =/„.

Ф1С21 Н- Ф2<22+ •• Н- n~fi%n-\ =

Ф1С„ ,, + ф2С„ ,2

Ф„ iG„ , „ , - /„ , „ ,.

(2.22)

в общем случае G - сумма проводимостей ветвей, сходящихся в узле k\ G - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы /гит, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока /г-узла J участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Если ЭДС р-ветви направлены к /г-узлу, то ее вклад в формирование / равен Eg, а если эта ЭДС направлена от -узла, то ее вклад составляет - Epg. Если к /г-узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в J со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в Jf со знаком минус. После решения системы (2.22) относительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравнений по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить в соответствии с приемом, рассмотренным в §2.24.

Система уравнений (2.22) может быть представлена в матричной форме записи:

[G]M = [/J, • (2.22а)

[G] =

12 22

1.«- 1 h.n - 1

- 1,1 - 1,2 • • • п- \,п~\

;1ф1 =

Ф«-1

п - 1,п-1

Ее решение

(2.226)

Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях всегда происходит так, что тепловая функция системы

N=1.2, 3... m=l,2, 3...

минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что совокупность уравнений (2.22) является совокупностью условий минимума функции Я,