Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (21)

ваны из соображений рациональности. При сложении (вычитании) матриц следует сложить (вычесть) соответствующие элементы этих матриц:

И]-НС] =

«12

«21

«22

«21+21 «22+22

"5 6

При умножении двух матриц (число столбцов первой должно быть равно числу строк второй)г-ю строку первой матрицы умножают на /г-й столбец второй. Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

1.5+2.7 1-6+2.8 3.5+4.7 3-6+4-8

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что [/4][Б] Ф ф \В\\А \ т. е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей. По отнощению к матрице [Л], когда ее определитель не равен нулю, можно составить обратную матрицу \А\~ . Для этого необходимо: а) каждый элемент исходной матрицы [Л] заменить его алгебраическим дополнением; б) транспонировать полученную матрицу, т. е. строки сделать столбцами; в) разделить полученную матрицу на определитель исходной матрицы [Л].

I Гап 012]

для1Л1 =

021 022

Решение. Заменив элементы на алгебраические дополнения, получим мат-

Пример 28. Составить [Л] для[Л] =

рицу

022 -021 -012 он

. После транспонирования имеем

022 -012 -021 он

. Следовательно,

«22

-«21 «11

Произведение [Л][Л]" =[1].

Для решения уравнения [Л этого уравнения умножить на [У В результате получим [в]=[Л]

«11«22-«12«21

В]=[С] относительно матрицы [Б]следует обе части : [А Г[Л 1 [В]:=[А Г [С] и учесть, что [Л Г[А ]=[ 1 ]. [С]. В матричном уравнении [Л] [Л]=0 можно пере-

ставлять столбцы в матрице [Л] при одновременной перестановке строк в матрице [Л].

§ 2.31. Некоторые топологические понятия и топологические матрицы. Положим, что в схеме имеется у узлов и в ветвей и каждая пара узлов соединена одной ветвью. Если в исходной схеме между какими-то двумя узлами имеется несколько параллельных ветвей, то их следует заменить одной эквивалентной. Перед составлением топологических матриц ветви схемы (графа) нумеруют и на них ставят стрелки. Стрелки указывают положительные направления для отсчета тока и напряжения на каждой ветви. Перед нумерацией ветвей графа нужно выбрать дерево. Как указывалось в § 2.8, дерево представляет такую совокупность узлов схемы и соединяющих их ветвей, когда ветви касаются всех узлов, но не образуют ни одного замкнутого контура. Число ветвей дерева равно {у-1). Нумерацию ветвей графа начинают с нумерации ветвей дерева, используя номера с 1 по у-1. Номера су по в придают ветвям графа, не вошедшим в выбранное дерево. Их называют ветвями связи или хордами. В качестве примера на рис. 2.34, а изображена схема, а на





Рис. 2.34

рис. 2.34, б - соответствующий ей граф. Схема имеет четыре узла и шесть ветвей. Узлы обозначены цифрами 1 - 4 (рис. 2.34, б). На рис. 2.33, в показано дерево, которое положено далее в основу формирования топологических матриц.

Ветви дерева обозначим цифрами /, 2, 3, остальные ветви графа (ветви связи) - цифрами, 5,6. Ветви дерева рис. 2.34,г вычерчены утолщенными линиями, ветви связи - тонкими. На ветвях графа ставим стрелки, направление их произвольно (рис. 2.34, в, г). Узловую матрицу [Л] составляют для всех узлов графа, кроме одного. В этой матрице номер /-й строки соответствует номеру узла, а номер /-гостолбца - номеру ветви.ВячейкиматрицыЛ]ставят числа 1, -1,0. Если узел, для которого составляется строка матрицы, охватить некоторой поверхностью, след которой показать кружком, то в соответствующую ячейку матрицы [Л] ставят 1, если стрелка /-ветви направлена из кружка, ставят -1, если стрелка направлена в кружок, и О, если ветвь не затронута кружком. При заземленном узле (рис. 2.34,6):

Ветви

И1 =

Узлы 1 2 3

1 2 3 4 5 6 ~ 1 О О -1 0-1 -110 О I О

0 0 1 0-1 1

Заметим, что матрица [Л] может быть представлена двумя подматрицами:

Узлы Ветви

1...{-1):...6

И1= I

Матрицу сечений [Q] составляют для любых сечений графа, а матрицу главных сечений - для главных сечений выбранного



дерева. След сечений на рисунках показывают овалами, вычерченными тонкими линиями.

Главными сечениями называют сечения, каждое из которых рассекает несколько ветвей связи и только одну ветвь выбранного дерева. Главные сечения нумеруют. Номер главного сечения соответствует номеру рассекаемой этим сечением ветви дерева. Для графа рис. 2.34, б главные сечения показаны на рис. 2.34, г и обозначены цифрами /, 2, 3. Сечение / рассекает ветвь / и ветви связи 4 и 6, сечение 2 - ветвь2 и ветви связи 4,5, 6(ветвь / целиком входит в овал 2 и не рассекается им), сечение 3 - ветвь 3 и ветви связи 5 и 6. Строки матрицы [Q] соответствуют сечениям, а столбца - ветвям графа.

В ячейках соответствующей строки матрицы ставят 1 для рассекаемой этим сечением ветви дерева и для всех ветвей связи, стрелки на которых ориентированы относительно поверхности этого сечения (след этого сечения на плоскости - овал), так же как и стрелка на рассекаемой этим сечением ветви дерева. Когда стрелка на ветви связи направлена относительно овала иначе, чем стрелка на ветви дерева, ставят - 1, когда ветвь связи не рассечена - 0.

Применительно к дереву рис. 2.34, в для главных сечений (рис. 2.34, г):

Ветви

Сечения 1 2

IQ, 1 = 2 3

1 о о 1

0-1 0-1 0-1 1-1 -1 0-1 1

В общем случае матрица [QJ может быть представлена в виде двух матриц:

Сечения I

Ветви \...{у-1).у...в

-т Каждая строка [Q] имеет только по одному элементу 1 и находится он на главной диагонали, поэтому [Qy] представляет собой единичную матрицу [1] и [гН-г!-

Главными контурами называют контуры, в каждый из которых входит только по одной ветви связи. Нумеруют главные контуры теми же номерами, какие присвоены ветвям связи в них. Главные контуры, 5,6 дерева рис. 2.34, в изображены на рис. 2.35. Толстыми линиями показаны ветви дерева, тонкими - ветви связи.

Матрицей главных контуров [/(,.] называют матрицу, составленную из чисел 1, -1, О, строки которой соответствуют номеру глав-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) ( 21 ) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)