Рис. 2.35

Рис. 2.36

ного контура, а столбцы - номеру ветви. Главные контуры при составлении матрицы [К] обходят в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура. Если при таком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку [/Сг] ставят 1, если не совпадает, то -1, если ветвь не обходится, то 0. Для контуров 4, 5, 6 рис. 2.35:

Ветви

Контуры 4 5 6

1 2 "1 1 О -1

3 О 1

1-1 0 0 1

В общем виде матрица [/CJ может быть представлена в виде двух подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов:

Контуры 1-..(-1) у...в

Так как номер строки (номер контура) в[/(g] определяется номером его ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы IK2] имеет только один элемент 1, расположенный на ее главной диагонали, т. е. IK2] представляет собой единичную матрицу [1], а

§ 2.32. Запись уравнений по законам Кирхгофа с помощью топологических матриц. Совокупность уравнений по первому закону Кирхгофа может быть записана следующим образом:

H][/J = 0, (2.46)

где [/в1- матрица-столбец (транспонированная матрица-строка) токов ветвей. Для графа рис. 2.33, г

1 о о

-I I о о о I

-1 о -1 о 1 о

0-1 I

Совокупность уравнений по второму закону Кирхгофа может быть записана так:

[KAWA = 0, (2.47)

где[(/в1- матрица-столбец(транспонированная матрица-строка) напряжения ветвей. Для графа рис. 2.33, г

1 1 О 100

0-1 1 010 [6,62бз[/4/5ббГ = 0.

I 1-1001

§2.33. Обобщенная ветвь электрической цепи. В литературе, использующей матрично-топологическое направление теории цепей, вводят понятие обобщенной ветви электрической цепи (рис. 2.36). Она образована двумя параллельными ветвями. Первая состоит из сопротивления ветви (проводимость gj и источника ЭДС Е, вторая - из источника тока J. Для принятых на рис. 2.36 положительных направлений токов ток через сопротивление R равен /д -- /р. Напряжение между точками аи b ветви обозначим U. Тогда, по закону Ома для участка цепи с ЭДС,

(2.48)

(2.49)

§ 2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц. Уравнение (2.48) справедливо для любой обобщенной ветви схемы, а также и для совокупности ветвей, входящих в любой главный контур. Запишем совокупность уравнений (2.48) для всех ветвей, входящих во все главные контуры:

[г][в] + [К][ЕА = [KMRMU.] + UsM (2.50)

- диагональная матрица сопротивлений ветвей.

Учтем, что по второму закону Кирхгофа сумма напряжений любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю, поэтому

[/(г][в1 - О- Кроме того, матрица-столбец токов ветвей [/„] может быть записана через матрицу-столбец контурных токов [7] и транспонированную матрицу главных контуров [/(f:

\К\ = \КХ\1Л (2.51)

При этом полагаем, что контурный ток каждого главного конту- • ра направлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этого контура. Контурные токи /44 /55, /gg схемы рис. 2.34, г показаны на рис. 2.35. Для этой схемы

Отсюда

-66 2

44 55

/44; /с

66» з 55» 6 ~

4 - 44, / 5 - i 55, i 6 - • 66-

Подставив (2.51) в (2.50), получим

(2.52)

Произведение [/(гИвИгГ = [1 - матрица контурных сопротивлений метода контурных токов. Так как контуры нумеруем от у до в, то

где Rm m - полное сопротивление т-контура; „ - сопротивление ветви (ветвей) смежной между т- и /г-контурами; берется со знаком плюс, если контурные токи / и /„„ текут через смежную ветвь согласно, и со знаком минус, если встречно.

Для рис. 2.34, г, полагая сопротивления ветвей - Rq, имеем

Запишем решение (2.52) относительно [Iff]:

(2.53)