§2.35. Вывод уравнений метода узловых потенциалов с помощью топологических матриц. Совокупность уравнений (2.49) для у - 1 узлов схемы заменим матричным уравнением

и 1 [/„1 + и 1= и 1 Ig.l I + и I Ig.l [£..

По первому закону Кирхгофа, [4] [/в1 = 0. Матрицу-столбец напряжений ветвей [t/J можно записать через транспонированную матрицу [А] и матрицу-столбец потенциалов незаземленных узлов [ф], т. е. в виде [ = И][ф]. Для рис. 2.34, г, полагая узел 4 заземленным, имеем

Действительно,

= ф,- Фз; U2=2, 3=Фз; 4-

-Ф,; и= ф2- Фз; Uq== Фз- ф,.

Таким образом, система уравнений метода узловых потенциалов запишется так:

[А 1 [g J [АПч>\ = -Щ [ £.] + И1 [ •si,

(2.54)

гдеИ]1в1ИГ = \Щ - матрица узловых проводимостей метода узловых потенциалов. При заземленном у-узле

[G] =

Для рис. 2.33, б

§2.36. Соотношения между топологическими матрицами. Полагаем, что при составлении матриц [Л], [Qr], [Кг] выполнены условия, оговоренные в § 2.31. Тогда

Узлы 1

(- 1)

Ветви \...{y-i), y...b

Л, : Ло

Сечения 1

(-1)

Ветви 1...-1 у...Ь

Матрично-тополо! ические методы систематизированы в[18).

Контуры

у...ь

Представим матрицу-столбец токов ветвей [/р] в виде подматрицы токов ветвей дерева [/д] и подматрицы токов ветвей связи [/]

У- У

Матрицу-столбец напряжений ветвей также представим в виде подматрицы Hanp"!!-жений ветвей дерева [Сди подматрицы напряжений ветвей связи \ Uq\

По первому закону Кирхгофа [А J [/в] = О или

И,1(д1-Ц/1211с] = 0.

(2.55)

Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому \QA [в! - 0. Следовательно,

= mi/j+i<32ii/ci=o-

По второму закону Кирх1офа, = О, поэтому

= [/c,]it/j + ii]itg = o

(2.56)

л If

(2.57)

Учтем, что столбец [КЛ соответствует строкам (Q.j, если у всех ненулевых

ки. О

элементов изменить знаки. Следовательно,

Обозначим Тогда

Умножив (2.55) слева на \А\ получим

1/д1=-И,ГИ211/с]-

(2.58) (2.59)

(2.60) (2.61)

(2.62)

Но из (2.56) имеем [ 1 ] [/д] = -[Q2I [/с], поэтому [2l = HirH2l-

(2.63)

Дадим обоснование еще одному соотношению

И1[/с,Г-о.

(2.64)

Рис. 2.37

В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения элементов /-строки ш/ на элементы /г-столбца bk/. Произведение aijbk/ не будет нулем, если / ветвь подходит к узлу i и входит в контур k (рис. 2.37). Но в контуре k узел i соединен не с одним, а с двумя узлами ветвями т и /, поэтому всегда будет еще ненулевое произведение ЩщЬкт, отвечающее ветви т, независимо от того, как направлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура k. Следовательно, каждая строка (2.64) щ/Ьк/ + ЩщЬкт = 0.

Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации расчета цепей на ЭВМ. Например, записав [Qg] = -[/Г. определяем [F] и по ней -[/Ср]-

§2.37. Сопоставление матрично-топологического и традиционного направлений теории цепей. В § 2.29 указывалось, что основными методами расчета электрических цепей являются МУП и MKT. Оба эти метода могут быть применены в своей традиционной форме записи: [G][ф] = [/] для МУП и {R]\l= \Еkk\ Д*"я MKT либо в матрично-топологической в виде уравнений (2.52) и (2.54). Для задач, встречающихся в курсе ТОЭ, составление систем уравнений традиционным способом (см. §2.13; 2.22), осуществляемое непосредственно по схеме, значительно проще, быстрее, удобнее и надежнее. Проще и быстрее выполняется и проверка составленных уравнений. Что касается решения составленных уравнений, то системы с относительно небольшим числом уравнений, записанные в традиционной форме, могут быть решены с помощью микрокалькулятора

I или логарифмической линейки. Системы с большим числом уравнений в том и другом случае решают с помощью ЭВМ.

Положительная сторона матрично-топологического направле-

J ния теории цепей заключается в большой степени упорядоченности составления систем уравнений. Если ввести определенную иерар-

хию ветвей электрических цепей по наличию и отсутствию в них источников питания, индуктивных и емкостных элементов, индук-

тивных сечений и емкостных контуров, то могут быть составлены алгоритмы, позволяющие не только составлять системы уравнений с помощью ЭВМ, но и осуществлять с их помощью так называемое

машинное проектирование. Под машинным проектированием понимают числовые расчеты на ЭВМ относительно сложных систем на оптимальный в том или ином смысле режим их работы. Совокупность вопросов, относящихся к машинному проектированию, в настоящее время усиленно разрабатывается, однако многие из них