Пусть задано комплексное число а -\- jb = се*. Здесь

с = AJa + b", tgф = b/a,a = ссозф, = с81пф.

Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, рекомендуется сначала качественно изобразить заданный в алгебраической форме комплекс на комплексной плоскости, что позволит правильно выразить угол ф между осью -- 1 и вектором. Углы, откладываемые против часовой стрелки от оси -f- 1. считают положительными, по часовой стрелке - отрицательными.

Пример 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а) 3 + +2/; 6)2 + 3/; в) 4 - 5/; г) - 6 - 2/; д) - 0,2 + 0,4/; е) 10 - /0,8.

Решение пояснено на рис. 3.12, а - е: а) 3 + 2/ = 3,6е°; б) 2 + 3/ = 3,6е°;

в)4 - 5/ = 6,4е-/"О;,)- 6 - 2/ = 6,32е" = 6,32е/««°;д)- (

= 0,448е«°; е) 10 - 0.8/ - Юе" "«

0,2+0,4/ =

§ 3.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи. По

первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю:

(3.40)

Подставив вместо if в (3.40) /е* и вынеся е" за скобку, получим е/««/ = 0. Та к как е" не равно нулю при любом /, то

= 0. (3.40а)

Уравнение (3.40а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС.

Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая /г-ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС е,, резистор R,, индук тивный и емкостный элементы, по которым протекает ток i. Тогда по второму закону Кирхгофа,

UL , " (3.41)

Но каждое слагаемое левой части уравнения в соответствии с § 3.12 можно заменить на 1}, а каждое слагаемое правой части - на Ef. Поэтому уравнение (3.41) переходит в

YJ,l,lE,. (3.41а)

Уравнение (3.41а) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи.

§ 3.17. Применение к расчету цепей синусоидального тока методов, рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного тока». Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока разработан ряд методов и приемов, облегчающих рещение по сравнению с решением системы уравнений при непосредственном использовании законов Кирхгофа. Из гл. 2 известно, что к числу таких методов относятся методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. д. Известно также, что окончательные расчетные формулы этих методов получают в результате выводов, в основу которых положены первый и второй законы Кирхгофа.

Поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и для цепей синусоидального тока, можно было бы записать уравнения для мгновенных значений величин цепей синусоидального тока, перейти от них к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод всех формул гл. 2 для цепей синусоидального тока. Понятно, что проделывать выводы заново нет необходимости.

В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока не связаны между собой магнитно, все расчетные формулы гл. 2 пригодны и для расчета цепей синусоидального тока, если в этих формулах вместо постоянного тока / подставить комплекс тока /, вместо проводимости g - комплексную проводимость У, вместо сопротивления R - комплексное сопротивление Z и вместо постоянной ЭДС Е - комплексную ЭДС Ё.

Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока связаны друг с другом магнитно (это имеет место при наличии

взаимоиндукции), то падение напряжения на каком-либо участке цепи зависит не только от тока данной ветви, но и от токов тех ветвей, с которыми данная ветвь связана магнитно. Расчет электрических цепей синусоидального тока при наличии в них магнитно-связанных ветвей приобретает рял особенностей, которые не могут быть учтены, если в формулах гл. 2 непосредственно заменить Е на на Z и g на Y. Особенности расчета магнитно-связанных цепей рассмотрены в § 3.36.

§3.18. Применение векторных диаграмм при расчете электрических цепей синусоидального тока. Ток и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты.

Качественный контроль заключается в сравнении направлений различных векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение (/ должно опережать ток / на 90°, а напряжение t/ - отставать от тока / на 90°.

Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошибка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета, например в методе пропорциональных величин.

Пример 31. в схеме (рис. 3.12, а) e=141sin(o/ В; Ri=3 Ом; /?2 = 2 Ом;

L = 0,00955 Гн. Угловая частота w = 314 рад/с. Определить ток и напряжение на элементах цепи.

Решение. Запишем уравнение для мгновенных значений

+/?2)+=е-

Перейдем от него к уравнению в комплексах:

/(/?, -f /?2) + /wL/ = Е или /Z = Е,

где Z = /?, + /?2 -f /wL = 3 -f 2 + /314-0,00955 = 5 -f 3/ = 5,82e°.

Комплекс действующего значения ЭДС Е - 141/д/2 = 100 В. Ток / = E/Z = 100/5,8е° = 17,2е А.

Напряжения на R\ t ?i=t/aft= ?i==5l,6e° В, на R2 ( ?2=(/frf= ?2=34,4e~° В; на L t/L = Ucd = /(oL/ = 3/- I7,2e~ = 51,6e° В.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.13, б. Вектор Е направлен пооси + I. Вектор тока / отстает от него на 31°.

4 Зак. 683 97