Ч Jr. Ul

2 L

Пример 32. Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин. Решение. Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на векторной диаграмме (рис. 3.13, в) по оси -f 1(/ = 1). Напряж«.ние на совпадает по фазе с током

и численно равно 1-3 = 36. Напряжение на R также совпадает с током и равно 2 В. Напряжение на L равно 3 В и опережает ток на 90°. Из прямоугольного треугольника следует, что при токе / = 1 А на входе Е = V* + 3 - 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в 100/5,82 = 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны быть умножены на коэффициент 17,2. На рис. 13.3, в все векторы повернуты на 31° против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13, б. Ясно, что взаимное расположение векторов на диаграмме при этом не изменилось.

Пример 33. В цепи рис. 3.14, а R = 4 Ом; о) = 10 рад/с. Определить емкость конденсатора С, если £ = 10 мВ; / = 2 мА.

Решение. Комплексное сопротивление цепи Z = R - j/iaC, его модуль

По закону Ома / = отсюда г = у = 10-10~2- Ю" = 5 Ом.

Следовательно,

Хс = 1/(оС = V?"- R = 5-4 =Ъ Ом; С = 1/(10-3) =

= 1/(10-3) = 3,33 мкФ.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14, б.

Пример 34. На участке аЬ разветвленной цепи рис. 3,15, а параллельно включе ны индуктивное сопротивление Xj = wL и активное сопротивление R, численно рав

ное Xj. Показание амперметра Л2 = 5 А. Определить показание амперметра Ау полагая сопротивление амперметров настолько малыми, что их можно не учитывать.

Рис. 3.16

P e ш е.н и е. На рис. 3.15, б качественно построим векторную диаграмму. Напряжение Uij совпадает по фазе с током /g. Ток /, отстает от тока на 90° и равен

ему по величине. Ток в неразветвленной части схемы Ij, = l\ -f/2- Модуль тока

/д = 5\= 7,05 А. Амперметр А- покажет 7,05 А.

Пример 35. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы рис. 3.16, а, если/, = 1 А, У?, = ЮОм, wL, = 10Ом, 1/ыС= 14,1 Ом;(о/.з = 20 0м,

У?2 = 2,5 0м.

Решение. Обозначим токи и примем положительные направления для них в соответствии с рис. 3.16, а. Выберем масштаб для токов Шу = 0,5 А/см и для напряжений Ши = 4 В/см. Ток /, направим по оси -f I (рис. 3.16, б). Падение напряжения

= 10 В и по фазе совпадает с током /,. Падение напряжения в индуктивном сопротивлении toL также равно 10 В, но опережает ток /, на 90°. Геометрическая сумма t/j,, -f t/y, по модулю равна 10"\/2 = 14,1 В. Емкостный ток /2 опережает это напряжение на 90°. Модуль тока /g = 14,1/14,1 = 1 А.

Ток в. неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токов: ~ А + 4- Модуль его равен ~ 0,8 А (найден графически). Падение напряжения на сопротивлении равно 2 В и совпадает по фазе с током /3. Падение напряжения на индуктивности L3 опережает ток /дна 90° и численно равно 0,8-20 = 16 В. Напряжение на входе схемы равно ЭДС и составляет около 18,3 В.

Пример 36. Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме рис. 3.16, а опытным путем найдены значения токов /,, /2 и /о (в ветви схемы включили амперметры и записали их показания), /, = 1 А, /2 = 1 А, /3 = 0,8 А и определены три напряжения: напряжение на входе схемы U - Е == 18,3 В, напряжение на конденсаторе IIq = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на

третьей ветви (на R и L3) (/3 » 16 В. Напряжения были определены путем подключения вольтметра поочередно к зажимам аце,ацс, е и с.

По опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить векторную диаграмму.

Решение. На рис. 3.16, в отложим вектор Uf, по модулю равный 14,4 В. Для

сопоставления с рис. 3.16, б расположим его на диаграмме так же, как он расположен «а рис. 3.16. б.

Изобразим на диаграмме ток l. Он на 90° опережает напряжение Uq и по **одулю равен I А. После этого построим на диаграмме токи /] и /3, воспользовавшись тем, что три тока (/, /2 и /3) образуют замкнутый треугольник (рис. 3.16, б).

Для построения треугольника по трем сторонам (т. е. фактически для определения третьей вершины его) из конца вектора тока (из одной вершины треугольника) подведем дугу радиусом, равным току /,, а из начала вектора тока /2 (т. е. из второй

вершины треугольника) проводим дугу радиусом, равным току /3.

Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину треугольника, т. е. точку, в которой оканчиваются векторы токов /3 и /,. После того как диаграмме

определено положение вектора тока /3, можно изобразить на ней векторы напряжения t/3 и ЭДС £.

Напряжения t/ 0 и ЭДС Е также образуют замкнутый треугольник. Его

построение осуществляется аналогично построению треугольников токов.

Из конца вектора t/ проводим дугу радиусом, равным t/3, а из начала вектора

Uq - дугу радиусом, равным Е. Дуги пересекаются в точках ей/.

Так как напряжение 0 представляет собой падение напряжения от тока /3 на

последовательно соединенных и L3, то оно по фазе должно опережать ток /3, а не

отставать от него.

Поэтому из точек ей/ выбираем точку е (если бы выбрали точку /, то.в этом случае напряжение /3 - пунктир на рис. 3.16, в - отставало бы от тока /3, а не опережало его).

В заключение отметим, что в треугольнике токов дуги тоже пересекаются в двух точках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.16, в не показана.

§3.19. Изображение разности потенциалов на комплексной плоскости. Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными числами. На комплексной плоскости комплексное число можно изображать либо точкой, координаты которой равны действительной и мнимой частям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала координат к данной точке плоскости.

На рис. 3.17 представлены два вектора, изображающие собой комплексные потенциалы: Фд = - 2 -- 5/ и ф, = 4 -- /.

• • •

По определению, разность потенциалов U = - = = - 6 -- 4/; Uij изобразится вектором, направленным от b к а. Первый индекс у напряжения (в нашем примере индекс а) указывает, к какой точке следует направить стрелку вектора напряжения. Естественно, что f/, = - f/,.

§ 3.20. Топографическая диаграмма. Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет свое значение комплексного потенциала.

Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называют топографической диаграммой.

Термин «топографическая» объясняется тем, что диаграмма напоминает топографическую карту местности, где каждой точке местности отвечает определенная точка карты. Расстояние между двумя точками на местности можно определить, измерив расстояние между одноименными точками на карте.

Аналогичные измерения можно проводить и на топографической диаграмме. Напряжение между любыми двумя точками электрической схемы, например между точками а и Ь, по значению и направлению определяется вектором, проведенным на топографической диаграмме от точки b к точке а.