Рис. 1.9

На рис. 1.8, б (вид сбоку) показаны силовые линии. В основной области поле . ..ридно. Иа краях имеется некоторая неоднородность, которую здесь учитывать

не будем. е направлена от заряда -{-q к заряду -q. Напряжение между электродами

и = [ edl =[ £cosOd/ = fa.Охватим верхний электрод замкнутой поверхностью

(след ее на рис. 1.8, б показан пунктиром) и применим к ней теорему Гаусса:

(Ь eds = es =-. Следовательно, е =-~ wc - =

Пример 2. Вывести формулу емкости цилиндрического конденсатора (рис. 1.9, а). На внутреннем электроде радиусом л, находится заряд -\-q, на наружном электроде

радиусом Гз - заряд -q.

Решение. Окружим внутренний электрод цилиндрической замкнутой поверхностью радиуса г(г, < г < Гд). След этой поверхности показан пунктиром на рис.

1.9, б. Поток вектора е имеет место через боковую поверхность, через торцы поток отсутствует, так как на торцах dS и £" взаимно перпендикулярны:

бок. пов

Напряжение между электродами

6 eds = £cosO*dS = e2nrl = Отсюда е =

и = edr =

/3 г

-1п-

Емкость

v~ г-1п-

В конденсаторе емкостью С, между электродами которого напряжение «, запасена электрическая энергия

2 2С"

(1.32)

При изменении заряда q во времени через конденсатор по диэ лектрику течет ток смещения

. d£ d« (1.33)

Положительное направление отсчета тока / совпадает с положительным направлением отсчета напряжения и. Из (1.33) следует, что

If.,, (1-34)

§ 1.5. Индуктивность. Явление самоиндукции. Если по какой-либо катушке (контуру) будет протекать ток, то он создаст магнитное поле и катушка будет пронизываться магнитным потоком. Потокосцепление катушки W будет пропорционально току = Li. Коэффициент пропорциональности L междуЧ и i называют индуктивностью

L = W/i. (1.35)

Индуктивность L (Гн) зависит от геометрических размеров катушки, числа ее витков и от магнитных свойств сердечника, на котором она намотана. Если ток / будет изменяться во времени, по закону электромагнитной индукции в катушке изведется ЭДС С/, которую называют ЭДС самоиндукции

d4 d£ (1.36)

Положительные направления отсчета для / и совпадают {ei пропорциональна скорости изменения тока /).

Если сердечник, на который намотана катушка, ферромагнитный, то Ч является нелинейной функцией тока i. В этом случае

d4(0 A4\i) df d£ (Ь37)

~ d/ ~ d/ At ~ "*d/

(£д„ф называют дифференциальной индуктивностью, она является нелинейной функцией тока /).

В магнитном поле уединенной катушки индуктивностью L, по которой течет ток /, запасается магнитная энергия

W = \iAW = \Liui = -.

(1.38)

Из (1.38) следует, что

jw (1.39)

Рис. 1.10

Примерз. Вывести формулу для индуктивности L двухпроводной линии передачи длиной /, расположенной в воздухе, при расстоянии между осями проводов d и радиусе провода r<d. Полагать Izd и не учитывать магнитный поток поперечных сторон петли.

Решение. Двухпроводная линия (рис. 1.10, а, б) представляет собой как бы один большой виток. Пропустим но ней ток /. Напряженность поля в произвольной точке между проводами на расстоянии л: от левого провода на линии, соединяющей

оси проводов, по закону полного тока равна ~-, а результирующая напряженность поля равна сумме напряженностей от каждого из проводов

{d - г>х>г).

2пх 2a(rf - х) Поток через заштрихованную площадку AS = lAx равен

с1Ф = BdS =

х d-x

dx; Ф =-In-.

г1 J , Ф Ио/, d

Hpndr L = -=-In-

/ яг

Пример 4. Определить индуктивность катушки (рис. 1.11, а) с числом витков Ш = 1000, равномерно намотанной на сердечник прямоугольного сечения, внутренний радиус которого/?, = 4см, наружный/?2 = 6см, высота А = 2 см, р,сердечника равия 80.