Рис. 4.2

§4.3. Вывод уравнений в Л-форме. Комплексные коэффициенты А, В, С, D в уравнениях (4.1) и (4.2) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, значений сопротивлений схемы и частоты. Для каждого четырехполюсника их можно определить расчетным или опытным путем. Для четырехполюсников, удовлетворяющих условию взаимности, коэффициенты связаны соотношением

AD-BC=\. (4.13)

Выведем уравнения (4.1.) и (.4.2). С этой целью к зажимам тп подключим источник ЭДС Е = = t/,, а к зажимам pq - нагрузку Z2 (рис. 4.2, а).

Напряжение на нагрузке =/22 = t/. Согласно теореме компенсации (см. § 1.17), заменим нагрузку Z2 источником ЭДС с ЭДС £2 = 2 и направленной встречно току /3 (рис. 4.2, б). Запишем выражения для токов /, и 1, выразив их через ЭДС Е, Е и входные, и взаимные проводимости ветвей у, У21, У22-

Л - Еуу - Е2УХ2,

2 - 121 ЕУ

(а) (б)

/Qf Если токи /, и /2 рассматривать как контурные, то ЭДС контуров, совпадающие с направлением контурных токов, войдут в уравнения, подобные уравнению (1.7), со знаком плюс, а ЭДС, не совпадающие с направлением соответствующих контуров токов, - со знаком мунус.

£ ЭДС£, направлена согласно с/,, поэтому она вошла в уравнение (а) и (б) со знаком плюс; ЭДС Е направлена встречно 1, поэто-

му она вошла в эти уравнения со знаком минус.

Для линейных четырехполюсников, не содержащих нелинейных

Элементов (для взаимных четырехполюсников), согласно принципу взаимности (см. §2.16), i/,2 = 21- Из (б) найдем

£j - £2

+ /2

У21

Подставив (в) в (а), получим

1122-1221

1, = Е2

Обозначим:

= yjy2l = 1/21> < = (1122 - УХ2У2Х)/У2Ь = Уп/Уп- (Д)

В уравнениях (в) И (г) заменим на t/, и на п-ь-

зовавшись обозначением (д), получим уравнения в Л-форме

t/j = Л t/2 + В/2;

/,=Ct/2+D/2.

Рис. 4.3

Проверим выполнение соотношения (4.13) для взаимного четырехполюсника:

а1л Di- П22 УпУ22~У12У2\ ли - DC =-------= 1.

Для невзаимного четырехполюсника У\2У2\ - ВС =

Ра(:смот.рим . соотношения, которые имеют место между t/, и /, и t/2 и /2, если источник ЭДС £, присоединен к зажимам pq, а нагрузка - к зажимам тп (рис. 4.3).

Как и в предыдущем выводе, заменим нагрузку на источник ЭДС с ЭДС £2».направленный встречно току 1, и запишем выражения для токов /, и I.

• • •

4 = -2П +112; (е)

/, - £221 \У22-

Из(е)найдем

Е J - Е ~ h

(3)-

Подставим (з) в (ж):

; у\\У22-у\2У2\ У22 Г 2

Заменив £ на t/, и Е на и воспользовавшись обозначениями (д), перепишем две последние строчки следующим образом:

V,=DIJ2 + Bl2, (4.14)

i.CVAl. (4.14а)

Таким образом, уравнения (4.1) и (4.2) характеризуют работу четырехполюсника при питании со стороны зажимов тп и присоединении нагрузки к зажимам pq, а уравнения (4.14)и (4.14а) - при его питании со стороны зажимов pq и присоединении нагрузки к зажимам тп.

Четырехполюсник называют симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки токи в источнике питания и нагрузке не изменяются. В симметричном четырехполюснике Л = D.

Уравнения (4.1) и (4.2) иногда записывают так:

U,=A,,U2-\-Aj2 (4.1а)

i,=A2A-Aj2 (4.16)

где/4,1 = А;Ау2 = -б; = С;Л22 = D.

§ 4.4. Определение коэффициентов Л-формы записи уравнений четырехполюсника. Комплексные коэффициенты А, В, С, D, входящие в уравнения (4.1) и (4.2), можно определить по формулам (д), если схема внутренних соединений четырехполюсника и ее параметры известны, либо используя входные сопротивления четырехполюсника, полученные опытным или расчетным путем.

Комплексные входные сопротивления находят опытным путем с помощью ваттметра, амперметра и вольтметра по схеме, подобной схеме рис. 3.24, а, с тем отличием, что вместо двухполюсника зажимами тп и pq (в зависимости от определяемого входного сопротивления) подключают испытуемый четырехполюсник.

Определим комплексное входное сопротивление четырехполюсника при трех различных режимах его работы. . 1. При питании со стороны зажимов тп и разомкнутой ветви pq (2 = 0, индекс х).

( 2„ = = 2,У«Р.х = Л/С. (и)

2. При питании со стороны зажимов тп и коротком замыкании Ветви pq{02 = О, индекс к).

Z, = Uji,=z,e = B/D. (к)

3. При питании со стороны зажимов pq и коротком замыкании зажимов mn{U2=0)

Z2,=Z2,ei2. = B/A. (л)

Таким образом, для определения четырех неизвестных коэффициентов А, В, С, D взаимного четырехполюсника располагаем че-тьфьмя уравнениями: AD - ВС = 1, = Л/С; = B/D; Z = ~~~/Л. Составим разность