fix)

Рис. 7.1

to ряд Фурье (7.1) можно записать в другой форме:

(7.4)

где - амплитуда /г-гармоники ряда Фурье.

Гармоники, для которых k - нечетное число, называют нечетными; для которых к - четное число, - четными.

§ 7.3. Некоторые свойства периодических кривых, обладающих симметрией. На рис. 7.1 и 7.2 изображены три кривые, обладающие некоторыми специфическими свойствами. Кривая рис. 7.1, а удовлетворяет условию - /(лс--я)=/(л:).

Кривые, для которых выполнимо это условие, называют симметричными относительно оси абсцисс. Если кривую рис. 7.1, а сместить по оси X на полпериода и зеркально отразить относительно оси х, то полученная кривая совпадает с кривой /(х).

При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т. е. равны нулю коэффициенты Ло = А\ = А\=А\= А\ =...

Поэтому кривые типа кривой рис. 7.1, а раскладывают в ряд

/(х) = Л\%\х\х-А " ,С05л:+Л з51пЗлс--Л 3Cos3jc+. ..

Каждое слагаемое этого ряда удовлетворяет условию -/(x+Ji) =/(J), например -51п(л:-}-л) =sinx.

Кривая, подобная кривой рис. 7Л, б, обладает симметрией относительно оси ординат и удовлетворяет условию -f{~x) = f{x).

Если кривую, лежащую левее оси ординат, зеркально отразить относительно оси ординат, то полученная кривая совпадает с кривой, лежащей правее оси ординат. При разложении таких кривых в ряд Фурье отсутствуют синусные (Л\= А\ = Л3 =... =0) составляющие, т. е. присутствуют лишь косинусные и постоянная составляющие.

Таким образом, кривые типа кривой рис. 7.1, б можно разложить в ряд \

f{x) = Ло4-Л,со5х-М"2С052х-Ь4"зС053л:--....

Кривые типа кривой рис. 7.2 удовлетворяют условию их называют кривыми, симметричными относительно начала координат. Разложение их в ряд Фурье имеет такой вид:

f(x) = A\smx-\-A2sm2x-}-AфшЗх-}-....

§7.4.0 разложении вряд Фурье кривых геометрически правильной и неправильной форм. Встречающиеся в электротехнике периодические кривые можно подразделить на две группы: 1) кривые геометрически правильной формы, например трапецеидальной, треугольной, прямоугольной и т. п.; разложение их в ряд Фурье дано в табл. 7.1, где вместо х записано (at; 2) кривые произвольной (геометрически неправильной) формы; чаще всего они заданы в виде графика; разложение их в ряд Фурье производят графически (графоаналитически).

§ 7.5. Графический (графоаналитический) метод определения гармоник ряда Фурье. Графический метод определения гармоник ряда Фурье основан на замене определенного интеграла суммой конечного числа слагаемых. С этой целью период

функции f{x\ равный 2л, разбивают на п равных частей Ад: = - и интегралы заме-

няют суммами.

По определению, постоянная составляющая

2л р=п п

o-i\ fWi I IMr,

или ,

(7.5)

- текущий индекс, принимающий значения от 1 ji,on;fp{x) - значение функции А-*) при х=(р-0,5)Ах, т. е. в середине р-го интервала.

Т а б л и ц а 7.1

7Г 27t

4am 1 1

f{(ot)=-(sinasino>--77sin3asin3o>/---sin5asin5u)/-f, )

7t ZTt

8a 1 1 1

/((oO = -(sino)--sin3u)---sin5(o/--sin7o)--...)

4am 1 1 1

/((o/) =-(sino)/-}--sin3u)H--sin5u)4-"rsin7u)+...)

я о 5 7

1Т%7Г ГБг

г/ .4 4а;„ ад 1 . Зал ,

/(о)/) =-(sin-cosu)/+-sin--cos3(o/ 4-

л о z

1 5ал

+-sin--cos5(o/4-...) I

2arn 1л 1 1

/((0) =-(-4--cosu)/+-cos2u)--cos4(o +

л z 4 1 -o i o-O

f-:cos о • /

4am 11 1 1

/((0) =-(-4--cos2u)/--cos4(o+---cos6(o/-...)

л Z I -O O-O o-/

3V3flmJ 1

(o+;r7cos 3(0/--COS 6(0/ 4-

Я 2 2-4

За 2cos6(o/ 2cosl2(o/ 2cosl8(o/

Амплитуда синусной составляющей fe-гармоники ряда

Л, = - 5 /(x)sinA;xdx»- /x)-sinA;x,

амплитуда косинусной составляющей fe-гармоники

(7.6)

(7.7)