Рис. 7.3

где siHp kx и cosp kx - соответственно значения функций smkx и cosx при х={р- -0,5)AJf, т. е. в середине р-го интервала.

При расчетах по (7.5) - (7.7) обычно достаточно разделить период на п=24 или 18 частей, а в некоторых случаях и на меньшее число.

Перед тем как производить графическое разложение в ряд, необходимо выяснить, не обладает ли раскладываемая функция симметрией относительно осей координат (см. § 7.3). Наличие того или иного вида симметрии позволяет до проведения разложения предсказать, какие гармоники следует ожидать. Так, если кривая f{x) симметрична относительно оси абсцисс, то постоянная составляющая и все четные гармоники отсутствуют, а вычисляя А\ иА\ при нечетных k, следует учесть, что

YJp{x)s\npkx 32i первый полупериод равна сумме /p(x)sinx за второй полупериод. Знак углов if в формуле (7.4) зависит от знаков А\ и А\. При построении

гармоник на общем графике необходимо учитывать, что масштаб по оси абсцисс для Л-гармоники должен быть взят в k раз большим, чем для первой гармоники.

Так, например, если некоторый отр1езок на оси абсцисс для первой гармоники выражает собой угол я / 3, то тот же отрезок для третьей гармоники выражает собой угол, в 3 раза больший, т. е. 3(л;/3)=л.

Пример 64. Найти первую и третью гармоники функции f{x\ изображенной на рис. 7.3, а. Значения ординат функции /(х) за первый полупериод при разбивке периода на /г=24 части следующие:

8 9 10 11 12

fp{x)......... 7 11 13,5 15,4 17,4 20,5 25,4 32,5 27,7 19,2 10 5

Решение. Так как кривая симметрична относительно оси абсцисс, тОу4=0 и ряд будет состоять только из нечетных гармоник.

Амплитуда синусной составляющей первой гармоники

п п/2

р=1 р=1

А, = -7sin7°30+1 lsin22°30-13,5siп37°30+ 24

4-15,4sin52°30+17,4sin67°304-20,5sin82°30+ +25,4sin97°30+32,5sinll2°30--27,7sinl27°30-}--f 19.2s i n 142°30-l-1 Osi n 157°30--5si n 172°30)?» 25,3.

составляющей

первой

гармоники

Амплитуда косинусной

/4i = - /р{д:)со8рд:;5=;-5,23.

Амплитуда синусной составляющей третьей гармоники

Лз = /р81ПрЗхжЗ,47.

Амплитуда косинусной составляющей третьей гармоники

а"ъ = - /р(д:)со8рЗх»5,1.

Р=1 ........

i-7-2-77 2

Амплитуда первой гармоники a\=\(a\) -\-{а\) =25,9. Тангенс угла t3i, на который начало первой гармоники смещено относительно начала кривой /(х),

tgt5, =a"ja\ = -5,23/25,3 = -0,206; = -11°40.

Амплитуда третьей гармоники

з = УИз)2+И"з)=6; 1ег1,з = Л-з/Лз=1,47; г1,з = 55°50.

Следовательно, если ограничиться третьей гармоникой, /((оО = 25,9sin((o/-l l°40)+6sin(3a)/+55°50).

На рис. 7.3, б изображены первая и третья гармоники полученного ряда, а также результирующая (суммарная) кривая. Ее можно сопоставить с кривой на рис. 7.3, а.

§ 7.6. Расчет токов и напряжений при несинусоидальных источниках питания. До проведения расчета вынуждающие силы (ток источника тока или ЭДС источника ЭДС) должны быть представлены рядами Фурье.

Согласно принципу наложения, мгновенное значение тока любой ветви схемы равно сумме мгновенных значений токов отдельных гармоник. Аналогично, мгновенное значение напряжения на любом участке схемы равно сумме мгновенных значений напряжений отдельных гармоник на этом участке. Расчет производят для каждой из гармоник в отдельности с помощью уже известных приемов. Сначала рассчитывают токи и напряжения, возникающие от действия постоянной составляющей ЭДС или источника тока, затем - токи и напряжения от действия первой гармоники, после чего от второй, третьей и т. д.

При расчете токов и напряжений, возникающих от действия постоянной составляющей ЭДС, необходимо иметь в виду, что падение напряжения на L при постоянном токе равно нулю, а также что постоянный ток через конденсатор С не проходит.

При расчете следует учитывать, что индуктивное сопротивление

растет прямо пропорционально частоте. Поэтому для /г-гармоники Xif в k раз больще, чем для первой гармоники Xi:

(7.8)

kX,,;

Рис. 7.4

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты, поэтому для /г-гармоники Х, в k раз меньше, чем для первой гармоники

Хс, = 1 /{ЫС) =Хс lk\ (7.9)

;Гс1 = 1/(а)С).

Для каждой гармоники можно построить векторную диаграмму. Однако откладывать на векторной диаграмме токи и падения напряжения различных частот и тем более векторно складывать токи и падения напряжения различных частот недопустимо, поскольку угловые скорости вращения векторов разных частот неодинаковы.

Резистивные сопротивления, если частоты не очень велики, полагают от частоты не зависящими.

При расчете каждую гармонику выражают комплексным числом. Суммирование одноименных гармоник производят путем сложения комплексных чисел или векторов на комплексной плоскости, т. е. так же, как это делалось в гл. 3.

Пример 65. В левой ветви схемы рис. 7.4, а имеется источник тока /(О = /femCos2o> в средней (второй) - источник ЭДС e{t) = Eo--Eminiot. Катушка индуктивностью L4 магнитно связана с катушкой индуктивностью L3. Взаимная индуктивность между ними М. Определить мгновенное значение тока is и напряжения иьа на зажимах L4. Дано: hm = 5 А; (о=1000 рад/с; £о=3 В; £=6 В; Ri=3 Ом; 3=ЗмГн;Л1=1 МГн.

Решение. Положительные направления для токов выберем в соответствии с рис. 7.4, а. По второму закону Кирхгофа

"ба-= О, но /4=0, поэтому Uf, =

Воспользуемся принципом наложения и найдем составляющие тока is от каждого источника в отдельности.

Схема рис. 7.4, б служит для расчета токов от действия постоянной составляющей ЭДС. Левая ветвь схемы разомкнута, так как в ней включен источник тока с сконечным сопротивлением. Правая ветвь короткозамкнута, так как индуктив-jP.Tb для постоянного тока имеет нулевое сопротивление. При этом

= £о ?1= 1 А.