а) б)

Рис. 8.1 Рис. 8.2

Переходные процессы обычно являются быстро протекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже миллиардные доли секунды; сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Тем не менее изучение переходных процессов важно, так как оно дает возможность установить, как деформируются по форме и амплитуде сигналы при прохождении их через усилители и другие устройства, позволяет выявить превышения напряжения на отдельных участках цепи, которые могут оказаться опасными для изоляции установки, увеличения амплитуд токов, которые могут в десятки раз превышать амплитуду тока установившегося периодического процесса (и вызвать недопустимые механические усилия), а также определить продолжительность переходного процесса.

§ 8.2. Приведение задачи о переходном процессе к решению линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для схемы рис. 8.2 при замкнутом ключе. Сумма падений напряжений на элементах LnR равна ЭДС Е:

+ Ri = Е,

Как известно из курса математики, уравнение, содержащее неизвестную функцию (в нашем случае /) и ее производные (в нашем

случае L), называют дифференциальным уравнением.

Таким образом, определение тока как функции времени, по сути дела, есть решение дифференциального уравнения.

Известно, что решение дифференциального уравнения - это отыскание функции, удовлетворяющей ему. Подстановка этой функции и ее производных превращает дифференциальное уравнение в тождество.

Решение линейных дифференциальных уравнений будем проводить в основном четырьмя методами: классическим, операторным, истодом интеграла Дюамеля и методом пространства состояний.

Перед тем как изучать эти методы, необходимо рассмотреть бщие свойства линейных цепей при переходных процессах, а так-

же общие законы, которым подчиняются переходные процессы в линейных электрических цепях. § 8.3 - 8.25 посвящены вопросам, имеющим отношение ко всем перечисленным методам расчета переходных процессов; однако часть этих параграфов (см. § 8.3, 8.8, 8.10 и 8.12 ) следует рассматривать так же, как введение к классическому методу расчета переходных процессов.

§ 8.3. Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений. Известно, что общий интеграл линейного дифференциального уравнения равен сумме частного решения неоднородного уравнения плюс общее решение однородного уравнения. Частное решение уравнения (8.1) равно E/R (Е - постоянная ЭДС).

Однородное уравнение получаем из исходного, если в нем возьмем правую часть равной нулю. В нашем случае

Решением однородного уравнения является показательная функция вида Ae.

Для всех переходных процессов условимся, что момент / = О соответствует моменту коммутации.

Постоянные Л и р не зависят от времени. Без вывода дадим их значения для рассматриваемого примера: Л = - E/R и р = - R/L. Следовательно, решение уравнения (8.1) запишется так:

. Е Е -t (8.3)

где E/R - частное решение неоднородного уравнения (8.1); Е --t

- -е - общее решение однородного уравнения (8.2). Подста-R

новка (8.3) в (8.1) дает тождество

Следовательно, (8.3) действительно является решением уравнения (8.1).

Частное решение неоднородного дифференциального уравнения будем называть принужденной составляющей го/са (напряжения), а полное решение однородного уравнения - свободной составляющей. Применительно к рассмотренному примеру принужденная составляющая тока i = E/R, а свободная состав-

Е --i

ляющая tpjj = - -е 1. Полный ток i = i -\- i. 228

Кроме индексов «пр» (принужденный) и «св» (свободный) токи и напряжения могут иметь и дополнительные индексы, соответствующие номерам ветвей на схеме.

Принужденная составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты о, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты о.

Определяются принужденные составляющие в цепи синусоидального тока с помощью символического метода (см. гл. 3). Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 8.2), то принужденный ток есть постоянный ток и находят его с помощью методов, рассмотренных в гл. 2.

Постоянный ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что падение напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.

В линейных электрических цепях свободные составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону

Е -t

еК Так, в рассмотренном примере / = ---е С увеличением

времени / множитель е быстро уменьшается. Название "свободная" объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение - это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принужденные и свободные составляющие токов и напряжений Во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает Действительные величины.

Здесь следует еще раз обратить внимание на тот факт, что •Ри любых переходных и установившихся процессах соблюда-