®

R eft)

Рис. 8.4

схемы рис. 8.4, а после выбора положительных направлений для токов имеем:

ь j - о

в этих уравнениях /j, /2 и /3 - полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, «освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС Е) и вместо /, запишем /jg, вместо - св и т. д. В результате получим:

icB 2св "зсв ~ 5

d/.„.

1 + «1св 1 + 2св 2 - 0;

2св2-- \ 3св = 0.

(8.7)

Заметим, что для любого контура любой электрической цепи сумма падений напряжений от свободных составляющих токов равна нулю.

§ 8.11. Алгебраизация системы уравнений для свободных токов.

В §8.3 говорилось о том, что свободный ток представляет собой решение однородного дифференциального уравнения (уравнения сз правой части). Как известно из курса математики, решение

однородного дифференциального уравнения записывают в виде показательных функций АеР. Таким образом, уравнение для каждого свободного тока можно представить в виде i t=AeP.

Постоянная интегрирования А для каждого свободного тока своя. Показатели же затухания р одинаковы для свободных токов ветвей. Физически это объясняется тем, что вся цепь охвачена единым (общим) переходным процессом.

Составим производную от свободного тока:

Следовательно, производную от свободного тока можно заменить на р/рв, а свободное напряжение на индуктивном элементе,

L-~ - на Lp/pg. Найдем интеграл от свободного тока: •{

\i,,dt=\Ae=AeP/p=iJp.

Постоянная интегрирования взята здесь равной нулю, так как свободные составляющие не содержат не зависящих от времени слагаемых.

Следовательно, интеграл от свободного тока можно заменить на iJр, а свободное напряжение на конденсаторе св - св/(ЭД

В систему дифференциальных уравнений для свободных токов подставим LprB вместо L- и вместо -ygd/. Следовательно,

1св hcB hcB - 0; (iP+/?.)"icB+/2cB/?2 = 0; (8.8)

уравнения (8.8) представляют собой систему алгебраических уравнений относительно i,, i и в отличие от исходной системы не содержат производных и интегралов.

Переход от системы линейных дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений называют алгебраизацией системы дифференциальных уравнений для свободных токов. Можно сказать, что система (8.8) есть результат алгебраизации системы дифференциальных уравнений (8.7).

§ 8.12. Составление характеристического уравнения системы.

Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных свободных токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока не найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (8.8) относительно i,,, i, и i;.

icBlA; 2св=Д2/Д; зсв=ДзА

где А

определитель системы. В рассмотренном примере

1 -1 -1

R2 -»/(Ср)

Определитель А, получим из выражения для определителя А путем замены первого столбца правой частью уравнений (8.8):

о -1 -1

О Rr

О R2 -\/{Ср)

Определитель Ag получим из выражения для Л путем замены второго столбца правой частью системы (8.8) и т. д.

Так как в правой части системы (8.8) находятся нули, то в каждом определителе Л,, и Ад один из столбцов будет состоять из нулей.

Известно, что если в определителе один из столбцов состоит из нулей, то этот определитель равен нулю. Следовательно, Л,=0; Л2 = 0; Лз = 0.

Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, что

= /2св = 0/А; зсв=0/Л.

Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда определитель системы

Л=0. (8.9)

Таким образом, определитель Д алгебраизированной системы уравнений должен равняться нулю.

Уравнение Д = 0 называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является р.

Пример 75. Используя уравнение (8.9), составить характеристическое уравнение для схемы рис. 8.4, а и найти его корни. Решение:

R2 • pLi+Ri +R2{L,p+R,)-\--:-= 0

pR2LiC-\-p{RR2C+L)-hRi-hR2 рС

= 0.

Если дробь равна нулю, то равен нулю ее числитель. Следпвательно, pRLC+p (RiRC+L) + /?,+/?2 = 0.

Корни квадратного уравнения

Р\,2 =

-{RiR2C+Li)±Al{RiR2C-\-Lf-4{Ri + RR2LiC

(8.10)

(8.11)