в начале § 8.11 говорилось о том, что решение для свободного тока берется в виде Л е. Если характеристическое уравнение имеет не один корень, а несколько, например п, то для каждого свободного

тока (напряжения) нужно взять Лел

Пример 76. Найти корни характеристического уравнения схемы рис. 8.4, а при-1) С=1 мкФ; 2) С=10 мкФ; 3) С=100 мкФ; Ri=R=\00 Ом; Li=l Гн.

Решение: 1) При С=1 мкФ /?,7?2C+L, = 10p-100-10~+1 = 1,01-4(/?i--/?2)2iC=4.200-100-10~=0,08; 2/?2£,С=2.100-10-=2- Ю"*;

-l.OliVl-O.OS .1 « г I

р. 2 =---- р, = -250 с~; 72=-9850 с.

• 2-10-

2) При С=10 мкФ 7,=-230 с~~; 72=-870 с". 3)При С=100 мкФ pi=-100+100/; 72=-ЮО-100/.

§ 8.13. Составление характеристического уравнения путем использования выражения для входного сопротивления цепи на переменном токе. Характеристическое уравнение для определения р часто составляют более простым способом, чем обсуждавшийся в предыдущем параграфе. С этой целью составляют выражение входного сопротивления двухполюсника на переменном токе [обозначим его 2(/о))], заменяют в нем /о) на р [получают Z{p)] и приравнивают Z{p) нулю.

Уравнение Z(p)=0 совпадает с характеристическим. Такой способ составления характеристического уравнения предполагает, что в схеме отсутствуют магнитно-связанные ветви. Если же магнитная связь между ветвями имеется, то предварительно следует осуществить развязывание магнитно-связанных ветвей (см. § 3.41).

Поясним сказанное. Какотмечалось в§2.15, если для некоторой цепи на постоянном токе составить систему уравнений по методу контурных токов, то входная проводимость относительно т-ветви

= Л/ Л, а входное сопротивление = А / А. Для режима

синусоидального тока входное сопротивление Z =-

Комплексное число p-a-{-jb в соответствии с § 8.41 представим в виде р = j(b-ja) = jQ, где Q - комплексная угловая частота. Сопротивление Z{p) - это сопротивление цепи на комплексной частоте; Z(/(o) - это частный случай Z{p), когда Q = ы. Имея это в виду, запишем

где Л(р) - определитель системы уравнений, составленных по методу контурных токов.

Таким образом, уравнение Z(p) = О имеет те же корни, что и уравнение А(р) = 0.

При составлении Z{p) следует учитывать внутреннее сопротивление источника питания.

Характеристическое уравнение можно составить так же, взяв за основу не метод контурных токов, а метод узловых потенциалов. В этом случае следует приравнять нулю определитель матрицы узловых проводимостей, полагая при составлении матрицы один из узлов схемы заземленным.

Пример 77. Для схемы рис. 8.4, а составить характеристическое уравнение. Решение. Входное сопротивление относительно зажимов аЬ при переменном токе

Заменим в нем /ы на р и приравняем его нулю:

Отсюда

pLCR+piLi+RRQ+Ri+R l-\-R2Cp

р2£,С/?2+р{/1+/?1ад+(1+2) = 0. (8.10а)

Уравнение (8.10а) совпадает с уравнением (8.10), составленным иным путем, и получено оно путем использования выражения для входного сопротивления первой ветви схемы рис. 8.4, а относительно зажимов аЬ. Точно такое же уравнение можно получить, если записать выражение для входного сопротивления любой другой ветви.

Следует иметь в виду, что во избежание потери корня (корней) нельзя сокращать Д(р) и Л;(р) на общий множитель, если он имеется. Однако на общий Множитель р сокращать Л(р) и ЛДр), как правило, возможно, но не всегда. Сокращение на р

допустимо для схем, в которых исследуемая величина из физических соображений не может содержать незатухающую свободную составляющую. Если же исследуемая величина в рассматриваемой схеме может иметь незатухающую свободную составляющую, то сокращать числитель и знаменатель Z{p) на р (терять корень Р==0) нельзя. Для иллюстрации недопустимости сокращения на р рассмотрим два примера. В послекоммутационной схеме рис. 8.4, б имеется контур из индуктивных Элементов, активное сопротивление которого равно нулю. В нем теоретически может протекать незатухающая свободная составляющая тока, которая не будет учтена в

решении, если сократить числитель и знаменатель Z(p) = РЦ-РЦ g схеме

рис. 8.4, в, дуальной схеме рис. 8.4, б после коммутации на конденсаторах возможно возникновение равных по значению и противоположно направленных незатухающих Свободных составляющих напряжений. Свободный заряд каждого конденсатора не Сможет стечь через сопротивление R, так как этому мешает второй конденсатор с противоположно направленной незатухающей свободной составляющей напряжения.

Для схемы рис. 8.4, в характеристическое уравнение получим, приравняв нулю входную проводимость относительно зажимов источника тока:

где=1 ?.

В качестве примера цепи, для которой можно сокращать числитель и знаменатель Z{p) на р, приведем схему рис. 8.4, г. Для нее

Zip) = /? +

рС RCpiRCp-\-2) R{RCp-2) 1 CpiRCp--l) /?Ср-Ь1 •

§ 8.14. Основные и неосновные зависимые начальные значения.

Для сложных схем со многими накопителями энергии число независимых начальных значений (начальных условий) может оказаться больше, чем порядок характеристического уравнения, и, следовательно, больше числа постоянных интегрирования. В этом случае при определении постоянных интегрирования используем не все независимые начальные значения, а часть из них.

Основными независимыми начальными значениями называют те токи в индуктивных элементах и напряжения на конденсаторах, которые могут быть заданы независимо от других. Остальные независимые начальные значения называют неосновными.

в качестве иллюстрации обратимся к схеме на рис. 8.5. Она содержит три индуктивных элемента в один емкостный. В схеме всего четыре независимых начальных значения (начальных условия):

1) /1(0+)= 0; 2) /2(0+) - 0; 3)/з(0+) = 0; 4)ис(0+) = 0.

Из них три являются основными и одно - неосновным. Выбор основных значений здесь произволен. Если за основные взять первое, второе и четвертое значения, то неосновным будет третье.

Пример 78. Убедимся в том, что для схемы рис. 8.5 характеристическое уравнение имеет не четвертую, а третью ступень.

Решение: Составляем выражение для входного сопротивления:

(Р2 + )Pi

Zip) = /?1+р/ч+--г" = 0.

Отсюда

(/?,+pLi) [1 +р2С2 (2+з)1+РЗ 0+С2Р) = 0.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет третью степень.