Рис. 8.6

§ 8.15. Определение степени характеристического уравнения.

Степень характеристического уравнения цепи необходимо уметь оценивать, взглянув на схему, в которой исследуется переходный процесс. Быстрая ориентация в этом вопросе дает возможность определить трудоемкость предстоящих выкладок и способствует выявлению ошибки, если она возникает при составлении характеристического уравнения.

Степень характеристического уравнения равна числу основных независимых начальных значений в послекоммутационной схеме после максимального ее упрощения и не зависит от вида ЭДС источников ЭДС в схеме.

Упомянутое упрощение состоит в том, что последовательно соединенные индуктивные элементы должны быть заменены одним эквивалентным; конденсаторы, включенные последовательно и параллельно, тоже должны быть заменены эквивалентными.

Применительно к схеме рис. 8.6, а последовательно включенные L\ и следует заменить на Lj = L\-\-L\zt2M, если между ними есть магнитная связь(если нет магнитной связи, то Л4=0), а конденсаторы емкостью Сз, С\, -на конденсатор емкостью

Cg = С4+--"4-. Начальное значение напряжения на С5 равно на-

чальному значению напряжения на С4.

В результате упрощений схемы рис. 8.6, б получаем схему на рис. 8.7, в которой два индуктивных элемента и один конденсатор. Все три независимые начальные значения - основные. Следовательно, характеристическое уравнение будет третьей степени.

Обратим внимание на то, что степень характеристического уравнения не зависит от того, имеется ли магнитная связь между индуктивными элементами схемы или она отсутствует.

Условимся под емкостным контуром понимать контур, в каждой из ветвей которого имеются либо только конденсаторы (рис. 8.7, а), либо в одни ветви входят только конденсаторы, а в другие - только источники ЭДС (рис. 8.7, б). Положим, что после максимального упрощения схемы в емкостный контур входит п конденсаторов. Если учесть, что по второму закону Кирхгофа алгебраическая сумма Напряжений на ветвях контура равна нулю, то только на п-1 кон-

Рис. 8.7

денсаторах контура напряжения могут быть заданы произвольно. Условимся под индуктивным узлом понимать узел, в котором сходятся ветви, в каждой из которой имеются индуктивности (рис. 8.7, б), либо часть ветвей с индуктивностями, а другая с источниками тока (рис. 8.7, г). Положим, что в индуктивный узел сходится т-вет-вей, содержащих индуктивности. Если учесть, что по первому закону Кирхгофа сумма токов в узле равна нулю, то только в т-1 индуктивностях токи могут быть заданы произвольно.

Обобщенно можно сказать, что после максимального упрощения схемы степень характеристического уравнения может быть определена путем подсчета величины ni~\-nc-yi-kc, где - число индуктивных элементов в схеме; - число конденсаторов; у - число индуктивных элементов, токи в которых не могут быть заданы произвольно; - число конденсаторов, напряжения на которых не могут быть заданы произвольно.

Замечания: 1. Если схема с источником тока имеет несколько последовательных участков, содержащих параллельно соединенные ветви с R, L, С, то для каждой группы параллельных ветвей будет свое характеристическое уравнение со своими корнями (свободные токи не могут замыкаться через источник тока, поскольку его сопротивление равно бесконечности).

2. Если в схеме будут иметься так называемые дополняющие двухполюсники (см. § 8.63), содержащие элементы R, L, С, между которыми выполняются определенные соотнощения, то при упрощении схемы они должны быть заменены на эквивалентные им резисторы. Это значительно упрощает выкладки(на эту тему рекомендуется решить пример 30 из вопросов для самопроверки).

§8.16. Свойства корней характеристического уравнения. Число корней характеристического уравнения равно степени этого уравнения. Если характеристическое уравнение представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени - два корня и т. д. Уравнение первой степени имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных неравных отрицательных корня; б) два действительных равных отрицательных корня; в) два комплексно-сопряженных корня с отрицательной действительной частью.

Уравнение третьей степени может иметь: а)три действительных неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу; в) три действительных равных отрицательных корня; г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.

§8.17. Отрицательные зшаки действительных частей корней характеристических уравнений. Свободный процесс происходит в цепи, освобожденной от источи ика ЭДС. Он описывается слагаемыми вида Ле. В цепи, освобожденной от источников ЭДС, свободные токи не могут протекать сколь угодно длительно, так как в ней отсутствуют источники энергии, которые были бы способны в течение сколь угодно длительного времени покрывать тепловые потери от свободных токов, т. е. свободные токи должны затухать во времени.

Если свободные токи (выраженные слагаемыми е) должны затухать (спадать) во времени, то действительная часть р должна быть отрицательной.

Значения функции е" ==/(«/), где at=x, приведены в табл. 8.1.

Таблица 8.1