Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) ( 78 ) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (78)

Рассмотрим характер изменения свободных составляющих для простейших переходных процессов в цепях с характеристическим уравнением первой и второй степеней.

Если число корней характеристического уравнения больше двух, то свободный процесс может быть представлен как процесс, составленный из нескольких простейших процессов.

§ 8.18. Характер свободного процесса при одном корне. Когда характеристическое уравнение имеет один корень, свободный ток

1;=ЛеР-Ле- (8.12)

где р ~ - а зависит только от параметров цепи, А - от параметров цепи, ЭДС и момента включения. Характер изменения 1 при А >0 показан на рис. 8.8.

За интервал времени / = т = 1/а функция Ле~" уменьшится в е == 2,72 раза. Действительно, при /=т = 1/а at = ах ~а/а = \\ е- а< е- а. 1 1 1 /2,72.

Величину 1 = 1/а - \/\р\ называют постоянной времени цепи; т зависит от вида и параметров схемы. Для цепи рис. 8.2 т =L/R, для цепи рис. 8.3, а t = RC, для цепи рис. 8.17 x={R,R,C)/{R,-R,)nT. д.

Название «постоянная времени» отражает постоянство подкасательной к экспоненте: подкасательная к экспоненте е~ " численно равна т (см. рис. 8.8).

§ 8.19. Характер свободного процесса при двух действительных неравных корнях. Пусть /?, = - а, р - Ь (для определенности положим b >а). Тогда

i=AP\ +Л2еР2=Л1е~" -Ае

(8.12а)





Характер изменения свободного тока при различных по значению и знаку постоянных интегрирования АиА качественно иллюстрируется кривыми рис. 8.9, а-г; кривая / представляет собой функцию Л,е-"; кривая 2 - функцию gC""; результирующая («жирная») кривая получена путем суммирования ординат кривых /и2.

Для рис. 8.9, а Ai>0, АО; для рис. 8.9, б Л, >0, Л2<0, \А2\ >р рис. 8.9, в Л, >0, Л2<0, Л2 <Лр для рис. 8.9, г Л1>0,Л2<0, Л2 =А.

§ 8.20. Характер свободного процесса при двух равных корнях.

Известно, что если среди корней характеристического уравнения есть два равных корня /?, = р2 = - а, то соответствующие слагаемые решения должны быть взяты в виде

Л1е -JtAtQP ={Ах И-Л20е-". (8.13)

На рис. 8.10 построены пять кривых. Они показывают возможный характер изменения функции (Л1-Л2/)е~" при различных

значениях постоянных интегрирования Л i и Л2, а также при равенстве нулю одной из постоянных.

Кривая / построена при Л, >0 и А >0; кривая 2 - при Л, <0 и Л2 >0; кривая 3 - при А >0 и Лз <0; кривая 4 - при Л, =0 и Л2>0; кривая 5 - при Л, >0 и Л2 = 0.

§ 8.21. Характер свободного процесса при двух комплексно-сопряженных корнях. Комплексные корни всегда встречаются попарно сопряженными. Так, если р= - б-\- /ыд, то = - б - J(Dq. Соответствующее им слагаемое решения должно быть взято в виде

f;=Лe-«sin(o)o/-f-v). (8.14)

Формула (8.14) описывает затухающее синусоидальное колебание (рис. 8.11) при угловой частоте (Oq и начальной фазе v. Огибаю-



Рис. 8.10

Рис. 8.11



щая колебания описывается кривой Ле"*. Чем больше б, тем быстрее затухает колебательный процесс; Л и vопределяются значениями параметров схемы, начальными условиями и ЭДС источника; (Oq и 6 зависят только от параметров цепи после коммутации;

называют угловой частотой свободных колебаний; 6 - коэффициентом затухания.

§8.22. Некоторые особенности переходных процессов. Как известно из предыдущего, полное значение любой величины (тока, напряжения, заряда) равно сумме принужденной и свободной составляющих. Если среди корней характеристического уравнения есть комплексно-сопряженные корни р = - ±/wq и значение угловой частоты свободных колебаний почти равно угловой частоте (о источника синусоидальной ЭДС (источника питания), а коэффициент затухания б мал (цепь с малыми потерями), то сложение принужденной и свободной составляющих дает колебание, для которого характерно биение амплитуды (рис. 8.12, а).

Колебание (рис. 8.12, а) отличается от колебаний, рассмотренных в § 7Л4, тем, что здесь у одной из составляющих колебания амплитуда медленно уменьшается.

Если угловая частота свободных колебаний coq точно равна угловой частоте источника синусоидальной ЭДС, то результирующее колебание имеет форму, изображенную на рис. 8Л2, б.

Простейшим примером колебаний такого типа является колебание, возникающее на конденсаторе схемы рис. 8.13 в результате сложения принужденного t/coso) и свободного

колебаний:

е~°) costo/.

Амплитуда результирующего колебания нарастает по экспоненциальному закону.

При наличии конденсатора (конденсаторов) в схеме могут возникать большие начальные броски токов, в несколько раз превышающие амплитуды тока установившегося режима. Так, в схеме рис. 8.14 при нулевых начальных условиях в первый момент после замыкания ключа напряжение на конденсаторах равно нулю и ток в неразветвленной части цепи равен UЫЩ)/Ry Если ф =90°, то в



7479



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) ( 78 ) (79) (80) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)