Главная -> Книги

(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) ( 80 ) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114) (80)

ния Л1, Лз,полагая известными «0(0+)св(0+)" значения

корней р„ Рз,--

Если характеристическое уравнение цепи представляет собой

уравнение первой степени, то 4в =Ле Постоянную интегрирования Л определяют по значению свободного тока /св(+)-

Л=иО+). (8Л5)

Если дано характеристическое уравнение второй степени и его корни действительны и не равны, то

Л,61+Л 362. (8Л6)

Продифференцируем это уравнение по времени:

Запишем уравнения(8Лб)и(8Лба) при / = 0(учтем, что при / := =0 еРу =е2 = 1).В результате получим

УО) =Л,+Л2; (8Л7)

" y(0+)=pH,+pH2- (8.17а)

В этой системе уравнений известными являются /„(0+)» У(0+) р, и Р2; неизвестными - Л, и Л3.

Совместное решение (8Л7) и (8Л7а) дает

2 = Uo+)-i-

Если корни характеристического уравнения являются комплексно-сопряженными, то в (8Л6) сопряжены не только Pi и pg (р, 2 = - б ± /шо), но и Л, и Л3. Поэтому свободный ток

г;=Лe-«sin(coo/-hv). (8Л8)

Угловая частота wq и коэффициент затухания 6 известны из решения характеристического уравнения.

Определение двух неизвестных Л и v производят и в этом случае по значениям iJO ) и (0 , ).

Продифференцировав по времени уравнение (8.18), получим

=-Лбе-«81п(й)о/ +v) +Лсоое-*со8(о)о/ -l-v). (8.18а)

Запишем уравнение (8Л8а) при / = 0 :

1св{+) = - Лбsinv + Лй)ocosv.



Таким образом, для нахождения неизвестных А и v имеем два уравнения:

св(0+) = ~ 6sinv + (OqCOSV.

(8.19)

Для цепи, имеющей характеристическое уравнение третьей степени, свободный ток

4о =ie +Л2е2 +Лзез (8.20)

Найдем первую, а затем вторую производную от левой и правой частей уравнения (8.20):

4/ =p,A,ePi +262 +Рззез; с =piA,ePi +plA,eP2i +piЛзeз Запишем (8.20)-(8.22) при / = 0+:

св(0+) = PHi + м2 + РъЧ

(8.21) (8.22)

(8.23)

Система уравнений (8.23) представляет собой систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: Л,, Лз и л3. Все остальные входящие в нее величины [1, Р2» Рз. с(0+), с(0+)] известны.

Сначала, пока еще не накоплено опыта в решении задач, для облегчения расчета величины и ее производной (производных) при / = 0 , рекомендуется решать задачу относительно тока через L или напряжения на С и только затем, используя законы Кирхгофа, определять любую другую величину через найденную.

Рассмотрим несколько примеров расчета переходных процессов классическим методом в цепях первого и второго порядков с источниками постоянной и синусоидальной ЭДС при ненулевых начальных условиях.

Пример 80. В схеме рис. 8.17 до замыкания ключа был установившийся режим: R\ = = /3 = 50 Ом; С = 100 мкФ; Е - 150 В. Требуется найти: 1) полные, принужденные и свободные составляющие токов /1, /2, /з и ис при / = 0-f, а также




начальное значение производной от свободного напряжения на конденсаторе; 2)токи П, «2, t3 и напряжение ис в функции времени.

Решение первой части задачи. До коммутации гС-) = О и ,j(0 ) = 1з(0 ) = E/{R -f /j 4- /з) = 150/150 = I А.

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе R-мс(0 ) = /з(0 )/?з = 1.50 = 50 В.

Найдем принужденные значения токов и напряжений после коммутации:

/,„р = /з„р = £/(/?, + Rs) = 150/100 = 1,5 А; «спр(0+) = зпр(0+)з = 1,5-50 = 75 В.

По второму закону Кирхгофа составим уравнение для контура, образованного первой и второй ветвями при / = 0 :

/,(0)/?, + uc(0+) = но uc(0+) = МО-)-

Поэтому

£-M0J l50 - 50 R, - 50

Из уравнения м(О) == i{0)R получим

з(0+) = «с(0+)/з = I А.

По первому закону Кирхгофа /j(0 ) = «2(+) + з(+)* Следовательно, 2(0+) = i{0+) - з(0+) = 2 - 1 = 1 А.

Свободные составляющие тока и напряжения при t = 0 определим как разности между полными и принужденными величинами:

«Ссв(0+) = «с(0+) - «с пр(0+) = 50 - 75 = - 25 В; Чсо(0+) = -1(0+) - 1гф(0+) 2 - 1,5 = 0,5 А; 2св(0+) = 2(0+) - 2гф(0+) = 1 ~ О = 1 А; зсв(0+) - з(0+) - з„р(0+) = 1 - 1,5 = - 0,5 А.

Так как свободный ток через конденсатор

"Ссв

св = С то duc Jut = iJC.

в рассматриваемом примере

((1исев/50, = 0+=2св(0+)/= /(100.10-6)= 10 В/с.

Решение второй части задачи. Характеристическое уравнение для послекоммутационной схемы pRRC -\- Ri -\- R: = О имеет один корень

1-Ьз

Каждый ток равен сумме принужденной и свободной составляющей Ле, где4 равно значению свободной Составляющей при / = 0 (рис. 8.18);

/, = 1.5 + 0,5е-*о«А; ie-A; =1,5- 0,5е- А; = 75 - 25е- В.

Пример 81. В схеме рис. 8.19 до замыкания ключа был установившийся режим-



(0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53) (54) (55) (56) (57) (58) (59) (60) (61) (62) (63) (64) (65) (66) (67) (68) (69) (70) (71) (72) (73) (74) (75) (76) (77) (78) (79) ( 80 ) (81) (82) (83) (84) (85) (86) (87) (88) (89) (90) (91) (92) (93) (94) (95) (96) (97) (98) (99) (100) (101) (102) (103) (104) (105) (106) (107) (108) (109) (110) (111) (112) (113) (114)