Решение. Послекоммутационная схема рис. 8.15 имеет всего один конту0. По первому закону (правилу) коммутации:

и (0 ) 4- /2 (0 ) = i (0+) {L + L2); 40+) = [l/(L + L2)][Z./(0 ) + L22(0-)l-

Закон изменения тока при 0--, если считать, что до коммутации был установившийся режим,

= 7Т7Г4-

£ 2L + L2 Е

ЪН L + L2 2R

L + L2

На рис. 8.25, а, б показан характер изменения токов для схемы рис. 8.15 в долях от E/R при L = ЗЬ2{Ь2 в правой ветви).

Пример 86. Определить закон изменения напряжений и "Р* замыкании ключа в схеме рис. 8.24.

Решение. В схеме известны «ci(0 ) = Е; мс2(0+) = 0. По второму закону (правилу) коммутации составляем одно уравнение (т. е. столько, сколько надо составить уравнений для послекоммутационной схемы по первому закону Кирхгофа):

«С1 (0 )С, = «с(М = (1 + С2).

отсюда

£С,

«с (0+) = "С1 (0+) = "С2 (0+) =

При >0+

"с = "Спр + «с

= Е - Е---

е ?(Ci + C2).

Характер изменения uci и ис2 показан на рис. 8.25, в, г. Л

в заключение обратим внимание на то, что, допустив при пере,-ходе от / = 0 к / = 0+ скачкообразное изменение токов через индуктивный элемент и скачкообразное изменение напряжений на конденсаторах, тем самым допускаем скачкообразное изменение энергии магнитного поля индуктивных элементов и энергии электрического поля конденсаторов.

Суммарная энергия электрического и магнитного полей при / = 0+ всегда меньше суммарной энергии при / = 0 , так как часть запасенной энергии расходуется на тепловые потери в резисторах, искру при коммутации, электромагнитное излучение в окружающее пространство.

Прежде чем перейти к изучению основ второго метода расчета переходных процессов в линейных электрических цепях - операторного метода, вспомним некоторые известные положения.

§ 8.29. Логарифм как изображение числа. Известно, что для выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня из многозначных чисел целесообразно пользоваться логарифмами.

Действительно, операция умножения сводится к сложению логарифмов, операция деления - к вычитанию логарифмов и т. д. Таким образом, произвести расчет легче в силу того, что сравнительно сложная операция сводится к более простой. Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании 10 числа 2.

§8.30. Комплексные изображения синусоидальных функций. С

понятием изображения встречаются также при изучении символического метода расчета цепей синусоидального тока. Согласно символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение синусоидальной функции. Так,/ - изображение синусоидального тока sin (о) / -4- lj?). Между изображением числа в виде логарифма и изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа имеется существенная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором - об изображении функции времени.

Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных функций времени позволило упростить операции над функциями времени (свести операции расчета цепей синусоидального тока к операциям, изученным в гл. 2).

§ 8.31. Введение в операторный метод. Операторный метод тоже основан на использовании понятия об изображении функций времени. В операторном методе каждой функции времени соответствует функция новой переменной, обозначаемой буквой р, и наобо-.от- функции переменной р отвечает определенная функция времени.

ян Переход от функции времени к функции р осуществляют с помощью преобразования (прямого) Лапласа.

Таким образом, операторный метод расчета переходных про-Ц-ессов представляет собой метод расчета, основанный на преобразовании Лапласа.

Операторный метод позволяет свести операцию дифференцирования к умножению, а операцию интегрирования - к делению. Это облегчает интегрирование дифференциальных уравнений.

§ 8.32. Преобразование Лапласа. Условимся под р понимать комплексное число •

Р = а + jb, (8.24)

где а - действительная, а jb - мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут 5).

В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой коэффициент b с учетом знака условимся называть не коэффициентом при мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают /(/) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F{p\ называемая изображением, которая определяется следующим образом:

(8.25)

F(p) = 5/(0e-d/. о

Соответствие между функциями F{p) и /(/) записывают так:

F{p) = m- (8.26)

Знак «==» называют знаком соответствия.

Верхний предел интеграла (8.25) равен бесконечности. Интегралы с бесконечным верхним пределом называют несобственными. Если в результате интегрирования и подстановки пределов получают конечное число (не бесконечность), то говорят, что интеграл сходится.

В курсе математики доказывается, что интеграл (8.25), в состав которого входит функция е" = е-°е~, сходится только в том i случае, когда модуль функции /(/), если и увеличивается с ростом t, 1 то все же медленнее, чем модуль функции е", равный е*.

Практически все функции /(/), с которыми имеют дело в курсе ТОЭ, этому условию удовлетворяют.

Составим изображения некоторых простейших функций.

§ 8.33. Изображение постоянной. Требуется найти изображение функции /(0 = . где А - постоянная величина. С этой целью, в (8.25) вместо f{t) подставим А и проведем интегрирование:

F(p) = \Ae-Pt = A - \d(e-P*)

Следовательно, изображение постоянной равно постоянной, деленной на р:

АА/р. (8.27)