§ 8.34. Изображение показательной функции е". Вместо /(/) в (8.25) подставим е:

оо оо

J J р - а

><fe-<(p-a)d[ /(p a)I =-i-e-(P-«) =--!-(О- 1) = -5-.

Таким образом,

I (8.28)

• р - а

При выводе формулы (8.28) (при подстановке пределов) было учтено, что действительная часть оператора р больше, чем а, т. е. А >а. Только при этом условии интеграл сходится.

Из формулы (8.28) вытекает ряд важных следствий. Положив в ней а =/(0 , получим

ei-* = \/{p-M. (8.29)

Формула (8.29) дает возможность найти изображение комплекса синусоидального тока:

С этой целью обе части (8.29) умножим на постоянное число /:

, е/- = , !- (8-30)

Аналогично, изображение комплекса синусоидального напря-Жения

функции е"" соответствует изображение \/{р -\-а):

e--l/ip-i-a). (8.32)

§8.35. Изображение первой производной. Известно, что функции /(/) соответствует изображение F{p). Требуется найти изображение первой производной df{t) /dt, если известно, что значение функции f(t) при t = О равно /(0).

Подвергнем функцию d/(/)/dt преобразованию Лапласа:

Интегрирование произведем по частям udv = uv начив е"= w и d [/(/)] = du, получим

°° со °°

\vuu. Обоз-

e-P7W =0-/(0)=.-/(0),

Таким образом.

(8.33)

df(t)/dt~pF(p)~f(0).

(8.33а)

§ 8.36. Изображение напряжения на индуктивном элементе.

Изображение тока / равно 1{р), Запишем изображение напряжения

на L:Ui = L -. По формуле (8.33а), d d == р1{р) - i{0\ гдег (0) - значение тока / при t = 0 . Следовательно,

Если /(0) = О, то

LfLpI{p)-Li{0).

L~=LpI{p).

(8.34)

(8.34а)

§ 8.37. Изображение второй производной. Без вывода дадим формулу

= PF ip) - pf (0) -

(8.35)

Для сокращения записи вместо/(О-) пишем /(0); t(0) может быть и положительной, и отрицательной величиной; i(0) положительно, когда направление тока совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока в индуктивном элементе L.

Следовательно, изображение второй производной тока /

= pl{p)-pi{0)-r{0).

§8.38. Изображение интеграла. Требуется найти изображение функции 5 / (О dt, если известно, что изображение функции /(/) рав-

но F{p).

Подвергнем функцию /(О dt преобразованию Лапласа;

оо D J

\fit)

\f{t)

d{c-P).

Примем J / (0 dt = u\ d(e~) = du и возьмем интеграл по частям:

\f{t)dt d{e-") = --

\f{t)-pdt

\f{t)

F ip)

Первое слагаемое правой части при подстановке и верхнего и нижнего пределов обращается в нуль. При подстановке верхнего предела нуль получается за счет ранее наложенного ограничения на функцию /(0(см. § 8.32) функция /(/), если и растет с увеличени-ем/, то все же медленнее, чем растет функция е",гдеА - действительная часть р. При подстановке нижнего предела нуль получим за счет

обращения в нуль / (/) dt . Следовательно, если /(/) == F{p), то

\l{t)diF{p)/p.

(8.36)

( § 8.39. Изображение напряжения на конденсаторе. Напряжение на конденсаторе часто записывают в виде «=id/, где не

указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись:

UQ = UciO)-{-~\idt,