где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекшим через него в интервале времени от О до t, но и тем напряжением иО), которое на нем было

при = 0. в соответствии с формулой (8.36) изображение -ydt

равно 1{р)/Сру а изображение постоянной uJO) есть постоянная, деленная на р. Поэтому изображение напряжения на конденсаторе записывают следующим образом:

Ср р

(8.37)

Приведем простейшие операторные соотношения; часть их была выведена ранее, другая дается без вывода:

р - а I

р + а •

3) 4) 5)

р -/О) •

р (р -f а) • 1

= 1 - е

-at .

(Р 4- а) •

6>

= (1 -аОе-;

(Р 4-

7) - г= Л11 - е-" (I -f aOl;

р (p-t- af

1 t L e

. 1

(p+a)(p-f&)- a~b

(p4-fl)(p+)- fl- •

P(P + a)(P 4- 6) ab b - a

i2)f=;

1 f"-

«~(«-l)! (p + a)

(p + a)"- («-l)!

n-l-at

16)--- = -sha/;

= ch at;

18)-r--r = -sina/; p4fl- «

Для сокращения записи вместо U(0 ) пишем U(0); иО) может быть и положительной, и отрицательной величиной. В формуле (8.37) «(0) считают положительной величиной, если направление uiO) совпадает с произвольно выбранным положительным направлением послекоммутационного тока через конденсатор.

)- = COS at; p -\- a

X (cos at - cos bt);

21)--\- = 7e~4in 6/;

22)lf=6(0; 24)=2V;

25) 26)

= h{iat);

= 1 -Ф

где Ф - интеграл ошибок Гаусса;

28)-29)

= -ре 4/;

ip-\-2bp

=е~ЧоиЬл[?,Ох.

§ 8.40. Некоторые теоремы и предельные соотношения. 1. Теорема смещения в области оригиналов (теорема запаздывания). Если изображение функции /(/) равно F{p), то изображение функции /(/ - т) равно e~pF{p).

Теорема доказывается путем подстановки f(t - т) в формулу преобразования Лапласа и введения новой переменной / - т =

= d/„ e-p*=e-fe-P*K

оо оо

\ е-Р / (/ - т) dx = е- \ e-i / (/,) d, = е"" F (р). о о

Пример на применение теоремы см. в § 8.60.

2. Теорема смещения в области изображений. Если изображению функции F{p) соответствует функция /(/), то изображению F{p - X) - функция е f(t).

Доказательство проводят путем подстановки функции е /(/) в формулу преобразования Лапласа:

оо оо

\ е-Р е / (О dt = \ е-(р - ) / (/) dt = F (р ~ X).

Пример 87. Найти оригинал 1/{р -f- Xf, если известно, что 1 ? = t.

Р е ш е н и е: 1/(р + Х) = е" t.

3. Теорема об изменении масштаба (теорема подобия). Если функции f{t) соответствует изображение F{p\ то функции /(X/) -

изображение -F

Теорема доказывается следующим образом:

1 с Р

\ е"Р / {at) dt=- \е-а - / (at) d{at) = - f О . J а J а а

4. Нахождение начального значения функции времени /(0+) по изображению функции F{p):

/(0+)=limpf (р).

р -»- ОС

Это соотнощение получают, если в (8.33) р устремим к бесконечности. При этом левая часть (8.33) равна нулю.

5. Нахождение установившегося значения функции времени /(оо) по изображению функции F{p):

f [оо) =Пт pF(р) .

Соотнощение получим, если в (8.33) р устремим к нулю и учтем, что е-о = 1 . В результате имеем

\dfit) =/(оо) -/(0) ==lim pFip) ~/(0) .

п Ро

/(/)=limpf(p).

Если искомая функция f{t) в послекоммутационном режиме содержит в своем составе периодическую составляющую (принужденную или свободную), то понятие /(оо) для нее оказывается неопределенным. Например, не имеет определенного смысла функция sin to при = оо. Всоответствии с этим к цепям с синусоидальными источниками не следует применять предельное соотношение п. 5. Точно так же не следует пользоваться им для цепей без синусоидальных источников, если эти цепи чисто реактивные и не содержат резисторов. Так, при подключении последовательно соединенных L и С(при нулевых начальных условиях) к единичному напряжению 1(0

по цепи протекает свободная составляющая тока, численно равная \IC/L sin

В этом случае определять / (оо) как lim pF {р) также не имеет смысла.

6. Дифференцирование в области изображений. Если F{p) f= tf [t) . Доказательство:

=f{t\ TO-

\f{t)-pUt

= -\f{t)

d dp

dt= ~ 5 tf {t)e-P*dt.