Например, если =е-; F{p) =

7. Интегрирование в области изображений. Если при

fit) г

jO fit) И -у- преобразуемы по Лапласу иР{р) dp существует,

lFip)<ip = .

Доказательство:

оо оо

\F{p)dp = \

\f{t)e-Pdt

dp-\f{t)

dt =

fit).

= 5/(0 V > t=\e~PUt.

Например, если /(/)= l - e""(a>0), F{p) = -j~-,

« f » ,, f

p «-

p p-\-a

dp = In

(p + g)

§8.41. Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС. На

рис. 8.26 изображена часть сложной разветвленной электрической цепи. Между узлами аи b этой цепи включена ветвь, содержащая R, L, Си источник ЭДС e{t). Ток по ветви обозначим через /.

Замыкание ключа К в схеме приводит к переходному процессу. До коммутации ток / = 1{0 ) и напряжение на конденсаторе Uq = =«с((-)- Выразим потенциал точки а через потенциал точки b для послекоммутационного режима:

Фа = Ф--"с+«1+«/?-(0;

e(t)

р + а

Вместо запишем L, вместо соответственноac(0) + -J/d/.

Тогда

Чь = iR + L~+Uc{0) + \Ш - е(t). (8.38)

К уравнению (8.38) применим преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа является линейным, поэтому изображение суммы равно сумме изображений.

Каждое слагаемое уравнения (8.38) заменим операторным изо-, бражением: вместо iR запишем Rf{p), вместо иь - (р); •

= Р/ ip) - Li (0); Uc (0) =

lj,d,ii£);,(0 = f(p). i

о "

В результате найдем Uab{P)=np) {r+pL-¥

,.,,«с(0) (8.39)

L40)-j-~E{p).

Смысл проведенного преобразования состоит в том, что вместо дифференциального уравнения (8.38) получили алгебраическое уравнение (8.39), связывающее изображение тока 1{р) с изображением ЭДС Е(р) и изображением напряжения UJ,p). Из уравнения (8.39) следует, что

«с(0)

и,, ip) + Li (0) - - + Е (р) (8.40)

rjxeZ{p) =R -\-pL - операторное сопротивление участка це-

пи между точками аиЬ. Структура его аналогична структуре комплекса сопротивления того же участка цепи переменному току, если /О) заменить на р (ср. с § 8.13).

Как указывалось в § 8.13, комплексное число р = а jb может быть записано в виде р = j{b - ja) = j где Q = b - ja - комплексная частота; Z(p) = Z(/Q) - сопротивление, оказываемое рассматриваемой цепью воздействию V e"=f/ е, подобно тому как Z (/(о) есть сопротивление, оказываемое воздействию О е*. Поэтому Z(p) называют сопротивлением на комплексной частоте.

Уравнение (8.40) может быть названо законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащего ЭДС. Оно записано при ненулевых начальных условиях.

Слагаемое Li{0) представляет собой внутреннюю ЭДС, обуслов-

Рис. 8.27

ленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока /(0) непосредственно до коммутации. Слагаемое U(JiO)/p представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем иО) непосредственно до коммутации.

В соответствии с формулой (8.40) на рис. 8.27 изображена операторная схема замещения участка цепи рис. 8.26. Операторные сопротивления ее R, pL, \/{Ср). Как следует из формулы (8.40), внутренняя ЭДС Ы{0) направлена согласно с направлением тока 1{р\ внутренняя ЭДС 11(0)/р - встречно току 1{р).

В частном случае, когда на участке аЬ отсутствует ЭДС e{t) и к моменту коммутации i{0) = Он иО) = О,уравнение(8.40)приобретает более простой вид:

ПР)=аь{Р)/{Р)- (8.41)

Уравнение (8.41) есть математическая запись закона Ома в операторной форме для участка цепи, не содержащего источник ЭДС при нулевых начальных условиях.

( § 8.42. Первый закон Кирхгофа в операторной форме. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю. Так, для узла а схемы рис. 8.26

/,-f/+/2 = 0. (8.42)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (8.42) и воспользуемся тем, что изображение суммы равно сумме изображений:

1АР)Л-1{Р)Л-12{Р)=0

>

В общем случае

=0. (8.43)

Уравнение (8.43) выражает собой первый закон Кирхгофа в операторной форме.