Pi(t) § 8.43. Второй закон Кирхгофа в опе«

раторной форме. Для любого замкнутого контура любой электрической цепи можно составить уравнение но второму {акону Кирхгофа для мгновенных значений. Предварительно необходимо выбрать положительные направления для токов в ветвях и направление обхода контура.

Запишем уравнение но второму закону Кирхгофа для контура рис. 8.28. Контур обходим по часовой стрелке. Учтем, что индуктивности L, и зСвязаны магнитно. При выбранных положительных направлениях для токов /, и «2 между L, и L2 имеет место согласное включение.

Рис. 8.28

Падение напряжения на L, равно + М - на L2 составляет dt2 di,

Lg-+ УИ-. При составлении уравнения учтем, что начальное напряжение на конденсаторе равно w(0). Пусть оно действует согласно с током Начальное значение г, = /(0), тока ~ ijS)- Имеем

1- + Л4 + «с (0) + S t - 122 -

d/ d/

(8.44)

Каждое из слагаемых(8.44)заменим операторным изображением:

dt, .

dt2 .

M-=Mp/2(p)-/Vft2(0);

1 . , .w

22 = 2АрУ

(8.45)

2- = L2PI2 (P) - 22 (0)-.

A]~=/Vfp/,(p)-/Vf/,(()); ti(0=/:"(p); е.р)=Е,{р).

Подставив (8.45) в (8.44), объединим слагаемые с /,(/?), Iip) I {р\ перенесем в правую часть wJO)/р, L,/,(0) и другие внутренние ЗДС. В результате получим

= ЕАр)~ Esip)- EJPl (8.46)

где Z,{p) = p{L, - Ml ZM = рщ - 2)- Z,ip)=\/{Cpl

В более общем виде уравнение (8.46) можно записать так:

; ll,ip)Z,(p)=lE,{p). (8.47)

Уравнение (8.47) представляет собой математическуюзапись второго закона Кирхгофа в операторной форме. В состав Е{р) в общем случае входят и внутренние ЭДС.

§ 8.44. Составление уравнений для изображений путем использования методов, рассмотренных в третьей главе. Из уравнений, составленных по законам Кирхгофа для мгновенных значений, вы-.текают соответствующие уравнения для изображения.

Уравнения для изображений по форме аналогичны уравнениям, составленным для той же цепи с помоп1ью символического метода для комплексов токов и напряжений.

Но если каждому уравнению для комплексов отвечает соответствующее уравнение для изображений, то все основанные на законах Кирхгофа приемы и методы составления уравнений (методы эквивалентного генератора, контурных токов, узловых потенциалов, наложения и т. п.) можно применить и при составлении уравнений для изображений.

При составлении уравнений для изображений ненулевые начальные условия учитывают путем введения "внутренних" ЭДС, обусловленных начальными токами через индуктивные элементы и начальными напряжениями на конденсаторах.

§ 8.45. Последовательность расчета операторным методом. Расчет операторным методом состоит из двух основных этапов: 1) составления изображения искомой функции времени; 2) перехода от изображения к функции времени.

На нескольких примерах покажем, как производится первый этан. Второй этап будет рассмотрен в § 8.47.

Пример 88. В схеме рнс. 8.29 при ну.1евых начальных условиях замыкают к.чюч. Составить операторные изображения юкок i\ и /з, пользуясь методом конг\риы\ токов.

Решение. Направления контурных токов

" показаны на схеме. Имеем:

Рис, 8.29

-\i22t + y?2 022-ll) = 0.

Переходим к изображениям:

/„(р) ipLi + + /?2) - /22(р)2 = Ш

--/ll(p)/?2+/22(P)(2 + ) = 0.

Совместное решение двух уравнений с двумя неизвестными дает:

/22 (р) =

E{p)R2Cp

(8.48)

(8.49)

p/?2L,C -f p(/?,/?2C -f L,) -\-Ri + R2

Изображение контурного тока /цСр) равно изображению тока /,(р), изображение /22(р) - изображению 1{р). В (8.48) и (8.49) Е{р) есть изображение ЭДС e{t). Если е( 0=

= Е, то £(р) = Е/р, если е(/) = £sin((o/ -+- ф), то Е{р) = Е

ИТ. Д.

р - /(О

Пример 89. Составить операторные изображения токов /, и «3 схемы рис. 8.29, пользуясь законами Ома и Кирхгофа.

Решение. Так как в схеме нулевые начальные условия и нет магнитно-связанных индуктивных катушек, то составить уравнение можно проще , чем по методу конгурных токов.

Изображение тока

/,(р) = ед/2»,

где Zbx(p) - входное сопротивление схемы в операторной форме относительно зажимов аЬ. Его определяют так же, как входное сопротивление для переменного тока, только /о) заменяют на р.

Входное операторное сопротивление

2вх(р)==1+р1 +

pL,CR2 + p(L, + -f + 2

R2 +

1 + R2CP

Следовательно,

Е{Р)

Е{р){\ +R2CP)

(8.48а)

2Jp) р2£,С/?2 + p{L -f RyRiC) + + /?2 уравнение (8.48а) совпадает с уравнением (8.48).

Найдем изображение /з(р). С этой целью выразим /з(р) через /,(р) и операторные сопротивления второй и третьей ветвей. Воспользуемся аналогией с переменным током. Для переменного тока

• • R2